Enunciado

As temperaturas das superfícies interna e externa de uma janela de vidro 2   m x 2   m de 0,5   c m de espessura no inverno são de 15   ° C e 6   ° C respectivamente. Se a condutividade térmica do vidro for igual a 0,78   W / m ∙ ° C , determine a quantidade de calor perdido, em k J , através do vidro em um período de 10   h .

Passo 1

O exercício pede para determinar a quantidade de calor perdido através do vidro durante um período de 10   h . Mas o que isso quer dizer?

A quantidade de calor perdido é como chamam normalmente a quantidade de energia que atravessa o vidro. Essa quantidade é chamada de perdida, porque o fluxo de energia aponta da superfície interna da janela (maior temperatura) para sua superfície externa (menor temperatura). Isso significa que o cômodo protegido pela janela perde essa energia para o ambiente externo. O problema fica melhor explicado pela figura abaixo.

Mas então chegamos em um impasse! A fórmula que conhecemos de transferência de energia por condução (lei de Fourier), só calcula a derivada da energia que é transferida através do vidro em relação ao tempo. Falando de outra forma: essa conta só me dá a quantidade de energia transferida por segundo, não a quantidade transferida em dez horas.

Mas fique calmo que resolveremos esse dificuldade no próximo passo!

Passo 2

Pra resolver esse problema, precisamos perceber que o enunciado não cita nenhuma mudança nas condições de transmissão de energia. Ou seja, essa quantidade permanece constante com o tempo.

Então para fazer a conta, é só achar a energia transferida a cada segundo Q ˙ pela lei de Fourier e multiplicar esse valor pela quantidade de segundos que o período mencionado tem (3600 segundos relativos às 10 horas).

Q ˙ = k A d T d x

Por essa equação, podemos ver que para encontrar a taxa de calor que atravessa a parede Q ˙ precisamos primeiro achar o valor de três variáveis:

  • A condutividade térmica k
  • A área onde a energia é trocada A
  • A derivada da temperatura em relação ao eixo x d T d x

Para fazer isso, a gente precisa obter dois tipos de informação presentes no texto da questão: as informações claras e as que estão escondidos e temos que descobrir por dedução. Esse será nosso próximo passo!

Passo 3

Vamos começar pelas informações mais claras:

  • O enunciado diz que a condutividade térmica da janela de vidro vale 0,78   W / m ∙ ° C
  • O valor da área também pode ser calculado rapidamente, mas ele não é informado diretamente como o k . O tamanho da superfície de troca é mostrado, quando o enunciado expõe as dimensões 2   m x 2   m do vidro. Ou seja:
  • A = 2 ∙ 2 = 4   m 2

  • A função das outras três informações ainda não está claramente definida. São elas:
  • T 1 = 15   ° C , a temperatura da superfície interna do vidro
  • T 2 = 6   ° C , a temperatura da superfície externa do vidro
  • L = 0,5   c m , a espessura do vidro

As duas primeiras variáveis A e k , fundamentais para achar Q ˙ , já estão determinadas. Mas como calcular d T d x ?

Para essa tarefa, precisamos de dois dados que estão escondidos no enunciado:

  • A direção do eixo x
  • Saber como a temperatura T varia nesse eixo

Passo 4

O eixo x é a única direção, em que a temperatura T do vidro varia. Mas como sabemos que essa simplificação de variação unidirecional da temperatura está sendo usada nesse caso?

Descobrimos isso, quando a questão diz que cada superfície do vidro tem apenas uma temperatura. Uma superfície está a 15   ° C e outra a 6   ° C .

Ou seja, a temperatura de um ponto não varia dentro de uma mesma superfície. Ela só muda, quando a distância entre o ponto considerado e uma das superfície se altera.

Como essa distância só muda conforme caminhamos em uma direção perpendicular às superfícies, o eixo x é uma reta perpendicular às superfícies.

Falta agora saber como a temperatura varia ao longo da direção x . A única pista do enunciado são as duas temperaturas que ele fornece.

A única função, que pode ser totalmente definida com dois pontos, é uma reta. Por isso, deduzimos que a questão está considerando uma distribuição linear para a temperatura.

No fim, a derivada é igual à inclinação dessa reta!

Passo 5

Agora vamos calcular essa inclinação para determinar d T d x . Lembre-se de passar as unidades para o Sistema Internacional de Unidades (SI). Temos então que converter a espessura de centímetro para metro, antes de colocá-la na fórmula.

d T d x = ∆ T L = 15 - 6 0,005 = 1800   K m

Passo 6

Essa etapa é só a substituição das três variáveis na lei de Fourier:

Q ˙ = k A d T d x = 0,78 ∙ 4 ∙ 1800 = 5616   W = 5616   J s

Passo 7

Agora é só calcular a quantidade total de energia perdida através de uma regra de três. Se o cômodo perde 5616   J a cada segundo, quanto de energia ele perde em 36000   s ?

Q = 5616 ∙ 36000 = 202176000   J

Antes de dar essa resposta, temos que lembrar de converter esse valor em joule para a unidade pedida: quilojoule.

Resposta

Q = 202176   k J

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