Exercícios Resolvidos de Condução de Energia por Calor

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Enunciado

As superfícies interna e externa de uma parede de tijolos 5   m x 6   m de 30   c m de espessura e condutibilidade térmica igual a 0,69   W / m ∙ ° C são mantidas a temperaura de 20   ° C e 5   ° C respectivamente. Determine a taxa de calor transferido através da parede em W .

Passo 1

O exercício pede para determinar a taxa de calor que atravessa a parede. Mas o que exatamente isso significa? Vamos ilustrar o problema para facilitar o nosso entendimento.

A taxa de calor é o nome comum, que os exercícios dão para a derivada da energia que é transferida através da parede por condução em relação ao tempo.

Para achar esse valor, temos que lembrar a fórmula de condução responsável pelo seu cálculo: a lei de Fourier.

Q ˙ = k A d T d x

Por essa equação, podemos ver que para encontrar a taxa de calor que atravessa a parede Q ˙ precisamos primeiro achar o valor de três variáveis:

  • A condutibilidade térmica k
  • A área onde a energia é trocada A
  • A derivada da temperatura em relação ao eixo x , d T d x

Para fazer isso, a gente precisa extrair dois tipos de informação presentes no enunciado: as informações claras e objetivas e os dados que estão escondidos e temos que interpretar nas entrelinhas. Vamos fazer essa identificação no próximo passo.

Passo 2

Vamos começar pelas informações mais claras:

  • O enunciado diz que a condutibilidade térmica da parede formada por tijolos vale 0,69   W / m ∙ ° C . Lembre-se que as unidades W / m ∙ ° C e W / m ∙ K são equivalentes. Logo, podemos usar esse valor na fórmula sem precisar converter.
  • O valor da área também pode ser calculado rapidamente, mas ele não é informado diretamente como o k . O tamanho da superfície de troca é mostrado, quando o enunciado diz as dimensões 5   m x 6   m da parede. Ou seja:

A = 5 ∙ 6 = 30   m 2

  • A função das outras três informações ainda não está claramente definida. São elas:
    • T 1 = 20   ° C , a temperatura de uma superfície da parede
    • T 2 = 5   ° C , a temperatura da outra superfície da parede
    • L = 30   c m , a espessura da parede
  • As duas primeiras variáveis A e k , fundamentais para achar Q ˙ , já estão determinadas. Mas como calcular d T d x ?

    Para essa tarefa, precisamos de dois dados que estão escondidos no enunciado:

  • A direção do eixo x
  • Saber como a temperatura T varia nesse eixo

Passo 3

O eixo x é a única direção, em que a temperatura T da parede varia. Mas como sabemos que essa simplificação de variação unidirecional da temperatura está sendo usada nesse caso?

Descobrimos isso, quando a questão diz que cada superfície da parede tem apenas uma temperatura. Uma superfície está a 20   ° C e outra a 5   ° C .

Ou seja, a temperatura de um ponto não varia dentro de uma mesma superfície. Ela só muda, quando a distância entre o ponto considerado e uma das superfície se altera.

Como essa distância só muda conforme caminhamos em uma direção perpendicular às superfícies, o eixo x é uma reta perpendicular às superfícies.

Falta agora saber como a temperatura varia ao longo da direção x . A única pista do enunciado são as duas temperaturas que ele fornece.

A única função, que pode ser totalmente definida com dois pontos, é uma reta. Por isso, deduzimos que a questão está considerando uma distribuição linear para a temperatura.

No fim, a derivada é igual à inclinação dessa reta!

Passo 4

Agora vamos calcular essa inclinação para determinar d T d x . Lembre-se de passar as unidades para o Sistema Internacional de Unidades (SI). Temos então que converter a espessura de centímetro para metro, antes de colocá-la na fórmula.

d T d x = ∆ T L = 20 - 5 0,3 = 50   K m

Passo 5

Essa etapa é só a substituição das três variáveis na lei de Fourier:

Q ˙ = k A d T d x = 0,69 ∙ 30 ∙ 50

Resposta

Q ˙ = 1035   W

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