Exercícios Resolvidos de Curvas Bidimensionais

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Enunciado

O limite de escoamento é uma propriedade dos materiais que define o valor máximo de uma determinada pressão na qual o material apresenta características de uma falha.

Em geral ele é função de diversos parâmetros inclusive a taxa com que o material se deforma (alonga, enverga, comprime e etc.).

Os dados a seguir dão o limite de escoamento de um certo tipo de aço em várias taxas de deformação:

Estudiosos geraram a seguinte equação para modelar o limite de escoamento desse material:

σ s = 350 * ϵ 210 0.16 + 1

Plote os dados experimentais e também a equação que os estudiosos descobriram e responda se a equação realmente reproduz os dados experimentais.

Obs: em vez de usar a função p l o t , use uma a função s e m i l o g x a sintaxe é idêntica a diferença é que a função s e m i l o g plota o eixo dos x todos em escala logarítmica deixando a visualização nesse caso melhor.

Passo 1

Opa galerinha aqui estamos em um problema de curva bidimensional, a ideia aqui é plotar tanto a curva quanto os pontos experimentais para ver se a equação realmente se aproxima dos dados experimentais.

Um problema de uma curva bidimensional é configurado quando queremos plotar uma curva onde nós temos uma variável dependente e uma única variável independente.

No nosso caso a variável dependente é o limite de escoamento enquanto a independente é a taxa de deformação.

Para realizar o plot de uma curva bidimensional em escala logarítmica precisamos apenas da função s e m i l o g x e para executar essa função precisamos de dois argumentos vetoriais.

O primeiro argumento é o eixo das abscissas que aqui será a taxa de deformação e o segundo argumento é o eixo das ordenadas que é o limite de escoamento.

A função s e m i l o g x ela vai imprimir os dados em um gráfico similar a função p l o t , porém irá ajustar o eixo X para que possamos ter uma melhor visualização, o deixando em escala logarítmica.

Para comprar as visualizações, vamos tanto gerar o gráfico pela função p l o t , quanto pela função s e m i l o g x

Como vamos plotar tanto os dados experimentais quanto a função em um mesmo gráfico para compará-los, para o cálculo da função iremos precisar criar um vetor taxa de deformação.

Esse vetor ela irá variar de 0.000007 até 3500, como aqui temos muitos pontos iremos colocar uma variação de 1 arbitrariamente, você pode colocar qualquer valor que achar melhor.

O segundo vetor que é o limite de escoamento será criado a partir da função calculada no vetor taxa de deformação.

Uffa, Belezinha? Então vamos escrever nosso algoritmo:

1-Implementação dos dados experimentais

2-Criação do vetor taxa de deformação e

3-cálculo da função limite de escoamento sigma

4-Plotagem dos gráficos e organização do mesmo.

Passo 2

Agora que criamos o algoritmo basta apenas transformá-lo em um código.

Primeiramente vamos implementar os vetores com os dados experimentais:

Vamos chamar a taxa de deformação experimental de x e a tensão de escoamento experimental de y .

x = 0.00007     0.0002     0.5     0.8       4.2     215       3500 ;

y = 345       362       419       454       485       633       831 ;

Agora que inserimos os dados experimentais vamos calcular as funções, para isso vamos primeiro criar um vetor auxiliar taxa de deformação para o cálculo da função sigma:

e = 0.00007 : 1 : 3500

S i g m a = 350 * ( ( e / 210 ) . ^ 0.16 + 1 )

Lembrando de colocar o “.” Antes da operação de potenciação pois estamos aplicando a função a cada elemento do vetor e .

Agora que criamos todos os vetores, precisamos apenas criar os plot.

Primeiramente vamos criar o plot usando a função p l o t , lembrando que precisamos de dois argumentos para a função plot.

Primeiramente o eixo das abscissas e depois os eixos das ordenadas:

p l o t x , y

Agora vamos plotar também as funções nesse mesmo gráfico e para isso preciso apenas inserir novamente as variáveis dentro do mesmo plot.

p l o t ( x , y , e , s i g m a )

Para deixar o gráfico de uma forma organizada vamos inserir algumas legendas nele junto com a nomeação dos eixos.

Primeiramente vamos nomear os eixos, utilizando as funções x l a b e l e   y l a b e l , a sua sintaxe é a seguinte x l a b e l ' t a x a   d e   d e f o r m a ç a o   s - 1 '

y l a b e l ' T e n s a o   d e   e s c o a m e n t o   M P a '

Precisamos apenas escrever o texto dos eixos dentro de parênteses e aspas simples.

Assim, estamos imprimindo nos gráficos os nomes dos eixos.

Como nós temos duas curvas em um mesmo gráfico ficaria legal nomeá-las, né?

Para isso vamos utilizar a função l e g e n d e sua sintaxe é o seguinte:

l e g e n d ' d a d o s   e x p e r i m e n t a i s ' , ' f u n c a o   t e n s a o '

Apenas chamar a função e colocar entre parênteses os nomes das curvas, o primeiro nome ela automaticamente vai associar aos dois primeiros argumentos da função p l o t e o segundo nome aos segundos argumentos da função p l o t .

E para indicar qual é, é só inserir na ordem e separar os nomes com uma vírgula simples.

Uffa, se digitou tudo certinho finalmente o seu código deve estar mais ou menos assim:

Executando o código iremos gerar a seguinte função:

Passo 3

A exibição ficou horrível né? Sabe porquê?

A resposta é a seguinte, os primeiros pontos são bem próximos, mas se você analisar os últimos pontos são muitos distantes e isso prejudica a visualização do plot.

A escala logarítmica surge para meio que ajustar o eixo X e você analisar melhor a plotagem.

Então vamos fazer o seguinte, apaga a palavra p l o t no código e coloca s e m i l o g x e o resto permanece intacto, logo o seu código ficará assim:

E se você executar esse seu código aparecerá o seguinte plot:

Bem melhor de visualizar né?

Sabe o que fizemos? Apenas olhe o eixo x do gráfico.

Isso ae, modificamos a escala do gráfico e agora conseguimos ver que o modelo se aproxima relativamente bem dos dados experimentais.

Pois nenhum modelo teórico irá se aproximar 100% dos dados experimentais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)