Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

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Enunciado

Calcule

∫ γ x + y d x - x - y d y x 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida uma vez no sentido horário.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e vamos de resolução. Aqui o que devemos fazer é encontrar uma parametrização adequada para a circunferência, e a partir dai iremos resolver nossos problemas.

Uma parametrização com para circunferência é a

x = acos ⁡ t

y = asin ⁡ t

Nos resta então substituir e calcular a integral.

Passo 2

∫ 2 π 0 acos ⁡ t + asin ⁡ t - asin ⁡ t - acos ⁡ t - asin ⁡ t acos ⁡ t a 2 d t

∫ 2 π 0 a 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t - a 2 sin ⁡ t - a 2 cos 2 ⁡ t - a 2 sin ⁡ t a 2 d t

∫ 2 π 0 - a 2 cos ⁡ t sin ⁡ t - a 2 sin ⁡ t - a 2 cos 2   ⁡ t + a 2 sin ⁡ t a 2 d t

Aqui podemos retirar o a 2 sin ⁡ t

∫ 2 π 0 - a 2 cos ⁡ t sin ⁡ t - a 2 cos 2   ⁡ t a 2 d t

Agora podemos retirar o termo a 2

∫ 2 π 0 - cos ⁡ t sin ⁡ t - cos 2   ⁡ t d t

Passo 3

Vamos calcular então as duas integrais de forma separadas

- ∫ 2 π 0 cos ⁡ t sin ⁡ t d t

- ∫ 2 π 0 cos ⁡ t sin ⁡ t d t

- 1 2 ∫ 2 π 0 sin ⁡ 2 t d t

1 4 cos ⁡ 0 - 1 4 cos ⁡ 2 π

1 4 - 1 4 = 0

Agora para a segunda integral

∫ 2 π 0 cos 2   ⁡ t d t

∫ 2 π 0 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

∫ 2 π 0 1 2 d t + ∫ 2 π 0 cos ⁡ 2 t 2 d t

- π + 1 4 ( sin ⁡ 0 - sin ⁡ 4 π )

- π

Resposta

- π

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