Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

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Enunciado

Calcule

∫ γ y d x + x d y , sendo γ a fronteira da região limitada por x = 0 , y = 1 e y = x 2 , percorrida uma vez no sentido horário.

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui e vamos começar a resolução dessa querida atividade. Primeiro vamos dar uma olhada na região

Abaixo que é a região que iremos integrar.

O caminho que iremos seguir é o caminho pela linha verde até y = 1 e depois iremos seguir a linha azul até x = 1 e depois iremos seguir até a origem por y = x 2 . Uma forma interessante de seguir esse caminho é montarmos uma integral para cada caminho explicitado e somar

Passo 2

Então para 0,0 → ( 0,1 )

x = 0

y = t

∫ 0 1 t 0 + 0 1 d t

= 0

Para 1,0 → 1,1

x = t

y = 1

∫ 0 1 1 + t 0 d t  

1

E agora para 1,1 → ( 0,0 )

x = t

y = t 2

∫ 1 0 t 2 + t 2 t d t

∫ 1 0 t + t 2 t d t

0 2 - 1 2 + ∫ 1 0 t 2 t d t

- 1 2 + 2 ∫ 1 0 t t d t

- 1 2 + 2 ( 2 5 0 5 2 - 2 5 1 5 2

- 1 2 - 4 5

- 5 - 8 10

- 13 10

Agora somando todos os resultados

- 13 10 + 1

- 13 + 10 10

- 3 10

Resposta

- 3 10

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