Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2016.1, Questão 4a

Calcule a integral de linha

D x 3 - y 3 d x + x 3 + y 3 d y

Onde D é região definida entre as curvas x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 . Considere a fronteira D orientada positivamente.

Passo 1

O exercício já dá a curva D como fronteira de uma região, então vamos logo usar Green: D F 1 d x + F 2 d y = D F 2 x - F 1 y d A

Ele também diz que a curva ta orientada positivamente, então não devemos ter nenhum problema pra aplicar o teorema. Só vamos, antes, entender nossa região.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A região é limitada por duas circunferências, as duas centradas na origem, uma de raio 3 e outra de raio 1 :

O que sugere coordenadas polares, só vamos ver como que fica os termos dentro da integral:

D F 2 x - F 1 y d A = D 3 x 2 - - 3 y 2 d A = 3 D x 2 + y 2 d A

Bem, coordenadas polares é uma ótima ideia!

Passo 3

Vamos lembrar como que é:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

E os limites vão ser simplesmente:

0 θ 2 π               1 r 3

Então nossa integral vai ficar:

3 D x 2 + y 2 d A = 3 0 2 π 1 3 r 2   r d r d θ

3 0 2 π r 4 4 1 3 d θ = 3 3 4 - 1 4 4 θ 0 2 π

3 81 - 1 4 2 π = 120 π

Pronto, sem mistério!

Resposta

120 π

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