Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

UERJ - Análise Vetorial - Lista 3 Flávio - 4f

Calcule C   F . d r , utilizando o Teorema de Green, onde F x , y = ( x + y , y + x 2 ) e C é a fronteira da região limitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , orientada positivamente.

Passo 1

Primeiro, vamos fazer um esboço da curva. Como o enunciado fala, temos duas cincunferências, uma de raio 1 e outra de raio 2 .

A região limitada pelas curvas é essa coroa, entre o círculo vermelho e o azul.

Cuidado com a orientação da curva, lembre-se do seguinte: para a curva estar orientada positivamente, andando sobre ela, temos que ver a região que ela limita à nossa esquerda. Para a curva de fora, isso significa sentido anti-horário, para a de dentro, sentido horário. Essa é uma condição fundamental para aplicarmos o Teorema de Green!

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Passo 2

Beleza, agora precisamos calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x y + x 2 = 2 x

F 1 y = y x + y = 1

F 2 x - F 1 y = 2 x - 1

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

C   F . d r = D   2 x - 1 d x d y

Onde D é a região que vimos no passo 1 .

Passo 4

Como a região D está compreendida entre duas circunferências, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 θ 2 π , o que equivale a uma volta na circunferência. Os valores de r variam entre as duas curvas, logo 1 r 2 . Temos, então:

C   F . d r = 0 2 π 1 2 ( 2 r cos θ - 1 ) r   d r d θ =

Não se esqueça desse r da mudança para coordenadas polares!

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí, integrando em relação a r temos:

= 0 2 π 2 r 3 3 cos θ - r 2 2 1 2 d θ =

= 0 2 π 2 . 2 3 3 cos θ - 2 2 2 - 2 . 1 3 3 cos θ - 1 2 2 d θ =

= 0 2 π 16 3 cos θ - 2 - 2 3 cos θ + 1 2 d θ =

= 0 2 π 14 3 cos θ - 3 2 d θ =

Agora em relação a θ :

= 14 3 sen θ - 3 2 θ 0 2 π =

= - 3 π

Resposta

- 3 π

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