Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

USP, Cálculo 3, P2 - 2019, Questão 2

Sejam C 1 e C 2 , respectivamente, os trechos das parábolas y = x 2 - 1 e y = 4 ( x 2 - 1 ) , com ponto inicial (-1,0) e final (1,0). Seja F x , y = P x , y i + Q ( x , y ) j um campo de vetores de classe C 1 em R 2   tal que Q x x , y - P y x , y = 1 , para todo ( x , y ) R 2 .

Se C 2 F . d r = K ,   então a integral C 1 F . d r é igual a:

Passo 1

Bom, pra começar vamos ver as curvas que estamos trabalhando.

Pelo teorema de green, temos que

Onde nesse caso, o D vai ser C 1 C 2

Precisamos ainda de manter a orientação positiva. Observa que esse não é o caso. Para mantermos tudo rodando no sentido anti-horario, precisamos mudar o sentido de giro da curva azul, no caso a C 1 y = x 2 - 1 .

Então nosso teorema ficará:

- C 1 F   d r + C 2 F   d r =   D r o t ( F ) d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele nos passou o valor de C 2 F   d r

Então ficamos com:

- C 1 F   d r + K =   D r o t ( F ) d x d y

- C 1 F   d r =   D r o t F d x d y - K

C 1 F   d r =   - D r o t F d x d y + K

Passo 3

Calculando então nossa integral dupla:

r o t F = F 2 x - F 1 y

Do enunciado temos que essa diferença vale ;

r o t F = 1

D 1   d x d y

Descrevendo a região vemos que

- 1 x 1

E também percebe-se que y varia entre a função verde debaixo e a azul de cima.

4 x 2 - 1 y x 2 - 1

Passo 4

Escrevendo e resolvendo a integral dupla ficamos com:

- 1 1 4 x 2 - 1 x 2 - 1 d y d x

- 1 1 x 2 - 1 - ( 4 x 2 - 1 ) d x

x 3 3 - x - 4 x 3 3 + 4 x - 1 1

= 2 3 - 2 - 8 3 + 8

= 4

Passo 5

Voltando ao teorema ficamos com:

C 1 F   d r =   - D r o t F d x d y + K

C 1 F   d r = - 4 + K

Resposta

- 4 + K

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