Exercícios Resolvidos de Degrau e Tunelamento

USP, Física 4, PRec - 2016, Questão Q4

Uma partícula de massa Equation e energia constante Equation move-se sobre o eixo Equation na presença de um degrau de potencial.

  1. Escreva as soluções gerais Equation e Equation da equação de Schrödinger nas regiões Equation ( Equation ) e Equation ( Equation ).
  2. Escreva as condições de contorno que Equation e Equation devem satisfazer.
  3. Determine Equation e Equation a menos de uma única constante multiplicativa.

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é dada por:

Equation

Na região Equation , Equation , e temos:

Equation

Chamando Equation , temos:

Equation

A função que derivada duas vezes resulta nela própria multiplicada por um sinal negativo é o seno e o coseno. Logo:

Equation

Na região Equation , Equation , e temos:

Equation

Equation

Onde Equation . Assim, definindo Equation , temos:

Equation

Neste caso, como não temos um sinal negativo, ficamos com:

Equation

Contudo, como essa função é para Equation , vamos ter que cortar a parte Equation , porque ela tende ao infinito quando Equation . Isso faria com que não pudéssemos usar a condição de normalização na função de onda (ela não seria normalizável!).

Equation

Uma última observação: Nota que ele dá o valor da energia total.

Equation

Assim, temos:

Equation

Equation

Logo:

Equation

E as soluções gerais ficam:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A função de onda deve ser contínua e suave em todo o espaço.

Ela ser contínua significa dizer que em Equation , onde o potencial muda repentinamente, a função de onda pela esquerda e pela direita se juntam no mesmo ponto.

Equation

Equation

Equation

Ela ser suave significa que a mesma coisa vale pra sua derivada.

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Letra c)

Substituindo as condições de contorno do passo anterior, ficamos com:

Equation

Equation

Uma observação: A solução mais geral de fato para a região Equation seriam exponenciais complexas. Porém, exponenciais complexas podem ser relacionadas com senos e cosenos, bastando usar constantes complexas.

Como tem muito “complexo” na frase de cima, decidimos fazer “simples” e ir direto pra seno e coseno. O resultado final é equivalente.

Resposta

Letra Equation

Equation

Equation

Equation

Letra Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Letra Equation

Equation

Equation

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