Exercícios Resolvidos de Degrau e Tunelamento

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Enunciado

Uma partícula de massa m e energia constante E = U 0 / 2 move-se sobre o eixo x na presença de um degrau de potencial.

  1. Escreva as soluções gerais ψ 1 x e ψ 2 x da equação de Schrödinger nas regiões 1 ( x < 0 ) e 2 ( x ≥ 0 ).
  2. Escreva as condições de contorno que ψ 1 x e ψ 2 x devem satisfazer.
  3. Determine ψ 1 x e ψ 2 x a menos de uma única constante multiplicativa.

Passo 1

Letra a)

A equação de Schrödinger é dada por:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ x  

Na região 1 , U x = 0 , e temos:

d 2 ψ 1 x d x 2 = - 2 m E ℏ 2 ψ 1 x

Chamando k 2 = 2 m E / ℏ 2 , temos:

d 2 ψ 1 x d x 2 = - k 2 ψ 1 x

A função que derivada duas vezes resulta nela própria multiplicada por um sinal negativo é o seno e o coseno. Logo:

ψ 1 x = A cos ⁡ k x + B sen ⁡ k x  

Na região 2 , U x = U 0 , e temos:

d 2 ψ 2 x d x 2 = - 2 m E - U 0 ℏ 2 ψ 2 x

d 2 ψ 2 x d x 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2 ψ 2 x

Onde U 0 > E . Assim, definindo α 2 = 2 m U 0 - E / ℏ 2 , temos:

d 2 ψ 2 x d x 2 = α 2 ψ 2 x

Neste caso, como não temos um sinal negativo, ficamos com:

ψ 2 x = C e α x + D e - α x

Contudo, como essa função é para x > 0 , vamos ter que cortar a parte e α x , porque ela tende ao infinito quando x → ∞ . Isso faria com que não pudéssemos usar a condição de normalização na função de onda (ela não seria normalizável!).

ψ 2 x = D e - α x

Uma última observação: Nota que ele dá o valor da energia total.

E = U 0 2

Assim, temos:

α 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2 = 2 m ℏ 2 ⋅ U 0 2 = m U 0 ℏ 2

k 2 = 2 m E ℏ 2 = 2 m ℏ 2 ⋅ U 0 2 = m U 0 ℏ 2

Logo:

α 2 = k 2 → α = k

E as soluções gerais ficam:

ψ 1 x = A cos ⁡ k x + B sen ⁡ k x

ψ 2 x = D e - k x

Passo 2

Letra b)

A função de onda deve ser contínua e suave em todo o espaço.

Ela ser contínua significa dizer que em x = 0 , onde o potencial muda repentinamente, a função de onda pela esquerda e pela direita se juntam no mesmo ponto.

ψ 1 x = 0 = ψ 2 x = 0

A cos ⁡ k ⋅ 0 + B sen ⁡ k ⋅ 0 = D e - k ⋅ 0

A = D

Ela ser suave significa que a mesma coisa vale pra sua derivada.

d ψ 1 d x x = 0 = d ψ 2 d x x = 0

- k A sen ⁡ k ⋅ 0 + k B cos ⁡ k ⋅ 0 = - k D e - k ⋅ 0

B = - D

Passo 3

Letra c)

Substituindo as condições de contorno do passo anterior, ficamos com:

ψ 1 x = D cos ⁡ k x - sen ⁡ k x

ψ 2 x = D e - k x

Uma observação: A solução mais geral de fato para a região 1 seriam exponenciais complexas. Porém, exponenciais complexas podem ser relacionadas com senos e cosenos, bastando usar constantes complexas.

Como tem muito “complexo” na frase de cima, decidimos fazer “simples” e ir direto pra seno e coseno. O resultado final é equivalente.

Resposta

Letra a

ψ 1 x = A cos ⁡ k x + B sen ⁡ k x

ψ 2 x = D e - k x

k = m U 0 ℏ 2

Letra b

ψ 1 x = 0 = ψ 2 x = 0

A = D

d ψ 1 d x x = 0 = d ψ 2 d x x = 0

B = - D

Letra c

ψ 1 x = D cos ⁡ k x - sen ⁡ k x

ψ 2 x = D e - k x

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