Degrau e Tunelamento

Teoria Completa

Imagine a seguinte situação.

Eu pego um carrinho de brinquedo e empurro-o, o fazendo subir uma ladeira com o empurrão que eu dei. Ele vai subir até certo ponto, e depois descer de novo.

O que acontece é que a medida que ele vai subindo, a sua energia cinética vai virando energia potencial gravitacional. O ponto onde ele para é o ponto onde toda a energia que demos pra ele virou potencial. Ele não consegue subir acima disso.

Se invés de uma ladeira, eu tivesse uma parede, ele nem subiria nada. Ele bateria na parede, e voltaria pra trás.

Na quântica, quando jogamos a partícula numa ladeira dessas, algo bizarro acontece: A partícula tem uma probabilidade de entrar na barreira de potencial e aparecer do outro lado.

O degrau quântico

Chamamos de “degrau quântico” ou “degrau de potencial” quando o gráfico de U ( x ) tem uma subida ou descida que, da nossa visão, assemelha-se a um degrau no caminho da partícula.

Quando existe apenas um degrau e ele logo desce, ou seja, U x volta ao estado inicial, a partícula encontra uma barreira, por isso é chamada “barreira de potencial”.

Vamos montar o problema: Uma partícula seguindo em direção a uma barreira de potencial.

Considerando que a energia da partícula é menor que a barreira de potencial: E < U 0 .

Dos lados de fora da barreira, o potencial é zero e a equação de Schrödinger fica:

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

Onde:

k 2 = 2 m E ℏ 2

Cuja solução, por causa do sinal negativo, é uma combinação de senos e cossenos.

ψ F x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x

Dentro da barreira, temos U = U 0 , e por isso a equação de Schrödinger fica:

d 2 ψ x d x 2 = α 2 ψ x

Onde:

α 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E

Por causa do sinal positivo, a solução vai ser uma combinação de exponenciais.

ψ B x = C e α x + D e - α x

Agora é que surge a bizarrice:

Dentro da barreira, a função vai ser uma exponencial decrescente e não necessariamente zero. Isso vai fazer com que, dependendo da largura da barreira, ψ B L seja suficientemente maior que zero para que vire o seno e cosseno do lado de fora.

E por isso, quando várias partículas baterem na barreira, algumas vão conseguir atravessá-la!

O nome desse fenômeno é tunelamento, e de vez em quando você pode ouvir alguém dizendo que as partículas que atravessaram a barreira tunelaram.

A função de onda nos diz a probabilidade de encontrarmos a partícula em certos lugares, e não a certeza de que uma partícula se enfiou dentro de uma ladeira.

Por isso nós dizemos que a partícula tem certa probabilidade de tunelar pela barreira. De fato, é possível até calcular essa probabilidade.

Essa probabilidade será:

T = G e - 2 α L

Onde L é a largura da barreira e (assim como antes)

α = 2 m U 0 - E ℏ

Também podemos escrever:

α = 2 m U 0 - E h / 2 π = 8 π 2 m U 0 - E h 2

Aí tanto faz, a fórmula que você preferir você usa porque são iguais.

De forma geral, dizemos que T é da ordem de e - 2 α L , e aproximamos:

T ≅ e - 2 α L

Embora eu vá usar isso o tempo todo, isso não é bem verdade. A magnitude dos valores vai estar correta, mas o valor exato não.

Então eu vou te mandar a real, e você vai ter que se decidir dependendo do que seu professor achar melhor.

Na verdade, G não é necessariamente próximo de 1 . A fórmula pra ele é:

G = 16 E U 0 1 - E U 0

Ou, rearranjando:

G = 16 E U 0 - E U 0 2

O que, bem, não vejo muita razão pra ser 1 . Muitos lugares ignoram esse G e fazem como eu fiz antes, fingindo que ele não existe e só calculando e - 2 b L , mas eu não posso te garantir que a sua aula vá ser um desses.

Então o ideal é ver como o professor faz, e confirmar qual das duas formas ele vai usar.

Pra muitos, o que mais importa é o conceito do tunelamento, e não sua fórmula exata.

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Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2012.1

Um feixe com 100   e l é t r o n s , todos com energia E e o número de onda k , deslocam-se no sentido positivo do eixo X e incidem numa barreira de potencial.

Foi observado que 64   e l é t r o n s voltaram (sentido negativo do eixo X );.

Com base nestas informações podemos afirmar que a probabilidade de um elétron penetrar uma barreira de potencial é de:

  1. 64 % e a energia total de cada elétron é menor que U .
  2. 64 % e a energia total de cada elétron é maior que U .
  3. 36 % e a energia total de cada elétron é menor que U .
  4. 36 % e a energia total de cada elétron é maior que U .
  5. 8 % e a energia total de cada elétron é menor que U .
  6. 8 % e a energia total de cada elétron é maior que U .
  7. 4,5 % e a energia total de cada elétron é menor que U .
  8. 4,5 % e a energia total de cada elétron é maior que U .
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Passo 1

Se 64 de 100 elétrons foram refletidos, 36 elétrons penetraram na barreira.

Logo, a probabilidade de um elétron penetrar na barreira é

36 100 = 36 %

Para que um elétron necessariamente penetre na barreira, é necessário que sua energia total E seja menor que a energia potencial U .

Assim, a opção que melhor se encaixa é a letra (c).

Resposta

Letra (c): 36 % e a energia total de cada elétron é menor que U .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 211-66, modificado
  1. Um feixe de prótons de 5,0   e V incide em uma barreira de energia potencial de 6,0   e V de altura e 0,70   n m de largura, a uma taxa correspondente a uma corrente de 1000   A .
  2. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?

  3. Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?

Dado:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

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Passo 1

Letra a)

Primeiro vamos calcular quantos fótons em média incidem na barreira até um finalmente atravessá-la.

O coeficiente de transmissão da barreira é:

T ≅ e - 2 b L

Onde

b = 8 π 2 m U b - E h 2

Para calcular b :

  • U b - E = 6,0 - 5,0 = 1,0   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J
  • m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g
  • h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s

b = 8 π 2 ∙ 1,673 ∙ 10 - 27 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19 6,626 ∙ 10 - 34 2 ≅ 4,819981 ∙ 10 22 ≅ 2,195 ∙ 10 11   m - 1

O que nos dá com L = 0,70   n m = 0,7 ∙ 10 - 9   m :

2 b L = 2 ∙ 2,195 ∙ 10 11 ∙ 0,7 ∙ 10 - 9 = 3,0736 ∙ 10 2 = 307,36

O coeficiente de transmissão fica:

T ≅ e - 2 b L ≅ 3,2 68 ∙ 10 - 134

Ou seja, a cada 10 134 prótons, 3,275 em média atravessam a barreira.

Passo 2

A taxa de prótons incidente corresponde a uma que seja tal que criaria uma corrente de 1000   A .

Como 1 próton tem uma carga de e = 1,602 ∙ 10 - 19   C , para gerar uma corrente de 1000   A = 1000   C / s são necessários:

N = 1000 1,602 ∙ 10 - 19 = 6,2422 ∙ 10 21   p r ó t o n s / s

Essa é a taxa de prótons que incidem na barreira. A taxa de prótons que atravessa a barreira será:

N ∙ T ≅ 6,2422 ∙ 10 21 ∙ 3,2 68 ∙ 10 - 134 = 2,04 ∙ 10 - 112   p r ó t o n s / s

Seja t o tempo que é necessário esperar, em média, para que 1 próton atravesse a barreira. Neste caso, temos:

N ∙ T ∙ t = 1

t = 1 N ∙ T = 1 2,04 ∙ 10 - 112 = 4,9 ∙ 10 111   s e g u n d o s ≅ 10 104   a n o s

Passo 3

Letra b)

Se o feixe contém elétrons invés de prótons, teremos:

m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

b = 8 π 2 ∙ 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19 6,626 ∙ 10 - 34 2 ≅ 26,24 339898 ∙ 10 18 ≅ 5,123 ∙ 10 9   m - 1

O coeficiente de transmissão será:

T = e - 2 b L ≅ 7,678 ∙ 10 - 4

Como os elétrons possuem mesma carga que os prótons, a taxa de elétrons que incide na barreira será equivalente à de prótons. A taxa de elétrons que atravessa a barreira vai ser:

N ∙ T ≅ 4,793 ∙ 10 18   e l é t r o n s / s

E o tempo médio de espera para que 1 elétron atravesse é:

t = 1 N ∙ T = 1 4,793 ∙ 10 18 ≅ 2,086 ∙ 10 - 19   s e g u n d o s

Resposta

Letra a)

t = 4,9 ∙ 10 111   s e g u n d o s ≅ 10 104   a n o s

Letra b)

t ≅ 2,086 ∙ 10 - 19   s e g u n d o s

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 212-68, modificado

Considere uma barreira de energia potencial como a da Fig.38-15 cuja altura U b é 6,0   e V