Exercícios Resolvidos de Deslocabilidade externa – Recalque de apoio

Ver Teoria

Enunciado

O apoio em A da estrutura abaixo sofre um recalque vertical de 2cm e um recalque horizontal de 3cm. Sabendo disso determine o deslocamento horizontal do ponto B da estrutura. use E J = 2   .   10 4   k N m 2

Passo 1

Aqui vamos usar um conceito novo. Para essa estrutura, sabemos facilmente que ela possuirá apenas 1 deslocabilidade interna no nó B, que iremos travar com uma chapa e teremos a seguinte estrutura:

Porém perceba que o enunciado quer saber o quanto o ponto B irá se deslocar, ou seja, queremos saber o quanto o ponto B irá se movimentar, e sabemos que tudo que se movimenta no método dos deslocamentos deve ser travado. Ou seja, se queremos saber o quanto o ponto B irá se mover, devemos por nele um apoio do primeiro gênero, e com isso usa os conceitos de deslocabilidade da nossa estrutura para determinar o quanto ele de fato irá se mover.

Sendo assim teremos que:

Perceba que a barra CD é bi-rotudada, ou seja, é como se fosse uma via bi-apoiada. O que significa isso? Significa que ela em nada vai contribuir nas nossas contas, ou seja, independente da deformação que ela tenha, ou da deformação imposta que façamos, a barra CD não vai contribuir nas contas, ou seja, uma simplificação que podemos fazer é:

agora podemos continuar a conta ignorando essa barra, já que ela não vai contribuir em nada nas contas, e isso facilita os cálculos, a fórmula e o williot, então só temos a ganhar com isso, então bora lá.

Passo 2

Para podermos determinarmos a deformação precisamos antes de tudo determinar o williot da nossa estrutura. Para isso devemos marcar primeiro o ponto indeslocavel da nossa estrutura. Para isso sabemos que o indeslocavel é o ponot em C, porém o ponto que também seria indeslocável, que seria o ponto A, deixa de o ser devido ao deslocamento.

Com isso teremos que:

A partir desse ponto podemos marcar facilmente o ponto A, que desce 2 e anda 3 cm para esquerda, sendo assim o ponto A passa a ser.

O ponto B vai ser achado a partir dos pontos A e C do nosso williot, usando o nosso conceito de ret perpendicular. Fazendo isso teremos que:

E assim determinamos o nosso wiliot completo que será dado por:

Passo 3

Tendo a deslocabilidade e o williot, podemos determinar o valor de β 10   e   β 2 0 . Como temos um apoio do primeiro gênero, temos que determinar as reações de apoio, e para isso precisamos determinar as deslocabilidades e momentos de cada barra, usando o nosso amigo williot teremos que:

Os momentos que agem na chapa 1 iram gerar β 10 , sendo assim teremos que:

β 10 = 225 - 75 = 150

Perceba que somente uma barra (AB) será capaz de produzir reação de apoio na direaçaõ do apoio 2. E essa reação de apoio que precisamos para determinar β 2 0 . Sendo assim teremos que:

Precisamos do valor de V B .

- 4 V B + 225 + 225 = 0

V B = 112,5

Como a direção é para frente, a reação de apoio também será, e com isso teremos que:

β 2 0 = 112,5

Passo 4

Vamos definir agora o valor de β 11   ,   β 2 1   e   β 22   ,   β 12   para termos o nosso sistema completo.

  • β 11   e   β 21
  • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1 e 2 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

    E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

    Veja que temos:

    β 11 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2

    Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

    1 E J

    E assim teremos:

    β 11 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

    Substituindo teremos que:

    β 11 = 4 l 1 + 3 l 2 = 4 4 + 3 4 = 1,75

    Perceba que para determinar o valor de β 21 precisamos das reações de apoio que agem em 2. Podemos ver que de novo somente a barra AB produzira reações na direção horizontal, sendo assim teremos que:

    Precisamos do valor de V B .

    - 4 V B + 1 + 0,5 = 0

    V B = 0,375

    Como a direção é para frente, a reação de apoio também será, e com isso teremos que:

    β 2 1 = 0,375

  • β 22   e   β 12

Sabemos aqui que temos que deslocar o apoio em 2, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 1 e 2 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

Causando o deslocamento teremos que:

Veja que temos:

β 12 = 6 E J ρ L 2

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E usando o valor de ρ = 1

E assim teremos:

β 12 = 6 L 2 = 6 4 2 = 0,375

Perceba que para determinar o valor de β 2 2 precisamos das reações de apoio que agem em 2. Podemos ver que de novo somente a barra AB produzira reações na direção horizontal, sendo assim teremos que:

Precisamos do valor de V B .

- 4 V B + 0,375 + 0,375 = 0

V B = 0,1875

Como a direção é para frente, a reação de apoio também será, e com isso teremos que:

β 2 2 = 0,1875

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 1 2 ∆ 2 = 0

β 2 0 + β 2 1 ∆ 1 + β 2 2 ∆ 2 = 0

Substituindo teremos que:

150 + 1,75 ∆ 1 + 0,375 ∆ 2 = 0

112,5 + 0,375 ∆ 1 + 0,1875 ∆ 2 = 0

∆ 1 = 75

∆ 2 = - 750

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento horizontal do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ B = ∆ 2 . 1 E J = - 750   . 1 2   .   10 4 = - 0,0375 m = - 3,75   c m

Resposta

∆ 1 = ∆ B = - 3,75   c m