Exercícios Resolvidos de Deslocabilidade externa – Recalque de apoio

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Enunciado

A estrutura abaixo sofreu um recalque no apoio A de 5cm para baixo e 1 cm para esquerda. Sabendo disso determine o deslocamento horizontal do ponto C. use para as barras AB e CD E J = 2   .   10 4   k N m 2 .

Passo 1

Para podermos determinarmos a deformação precisamos antes de tudo determinar o williot da nossa estrutura. Para isso devemos marcar primeiro o ponto indeslocavel da nossa estrutura. Para isso sabemos que o indeslocavel é o engaste em D, porém o ponto que também seria indeslocável, que seria o ponto A, deixa de o ser devido ao deslocamento.

Com isso teremos que:

A partir desse ponto podemos marcar facilmente o ponto A, que desce 5 e anda 1 cm para esquerda, sendo assim o ponto A passa a ser.

Como nem o ponto B e nem o ponto C estão ligados a dois pontos conhecidos, podemos achar um deles por suposição, e depois encontrar o outro.

O ponto B por exemplo, sabemos que ele desce 5 cm junto com o ponto A, porém apenas o ponto A segue 1cm para frente, pois supomos que a rigidez em B permite apenas que ele gire e não que ele se desloque, com isso teremos que:

Agora a partir de B e de D podemos destemrinar o ponto C, basta traçarmos perpendiculares a cada uma das barras que se ligam a C, e a partir delas determinar o ponto de encontro no williot.

Fazendo isso teremos que:

E assim determinamos o nosso wiliot completo que será dado por:

Passo 2

O williot nos ajudará a determinar os deslocamentos da estrutura devido ao recalque do apoio.

Mas para isso precisamos saber os números de hiperestáticos da nossa estrutura.

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Agora que vem o diferencial. Os pontos C e B estão nas extremidades da barra com inércia infinita. SEMPRE que tivermos uma barra com inércia infinita, ela obrigatoriamente tornará os nós da sua extremidade indeslocaveis com relação a rotação. Ou seja, os nós C e B não podem rotacionar porque a barra CB possui uma inércia tão grande que já vai impedir isso. Ou seja, não temos deslocabilidade interna.
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Os pontos A e D são engastes, logo são considerados indeslocaveis.
    • O ponto C também não pode se deslocar na vertical, porém pode claramente se deslocar na horizontal, por isso devemos travar ele nesse sentido, com o nosso velho amigo apoio do primeiro gênero.
    • Com o ponto C travado podemos ver que passamos a ter o ponto B indeslocavel, logo teremos apenas 1 deslocabilidade externa mesmo.

Passo 3

Tendo a deslocabilidade e o williot, podemos determinar o valor de β 10 . Como temos um apoio do primeiro gênero, temos que determinar as reações de apoio, e para isso precisamos determinar as deslocabilidades e momentos de cada barra, usando o nosso amigo williot teremos que:

como queremos a reação em 1, somente a barra AB nós dará isso, com isso teremos que:

Precisamos do valor de V B .

- 10 V B + 12 + 12 = 0

V B = 2,4

Como a direção é para frente, a reação de apoio também será, e com isso teremos que:

β 10 = 2,4

Passo 4

Agora que definimos as rigidezes do sistema zero, precisamos determinar nos sistemas com a deformação de cada um dos travamentos, sendo assim teremos que:

  • β 11  

Para determinar o valor β 11 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 1.

Como temos que deslocar o nosso apoio em 1, e sabemos que todos os nossos nós são engastes, usaremos a seguinte fórmula:

Colocando o deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Usando o fator de rigidez relativa teremos que:

1 E J   e   ρ = 1

Como todos os comprimentos são iguais teremos que:

6 L 2 = 6 10 2 = 0,06

Veja que somente as barras AB e DC produziram reações na horizontal, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a elas, sendo assim teremos que:

- 10 H B + 0,06 + 0,06 = 0

H B = 0,012

- 10 H C + 0,06 + 0,06 = 0

H C = 0,012

E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H C e H B   estão pra frente, e na mesma direção do apoio 1, então a reação em 1 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H C + H B . Sendo assim teremos que:

�� 11 = H B + H C = 0,012 + 0,012 = 0,024

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

2,4 + 0,024 ∆ 1 = 0

∆ 1 = - 100

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento horizontal do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ 1 = ∆ 1 . 1 E J = - 100   . 1 2   .   10 4 = - 5   .   10 - 3 m = - 5   m m

Resposta

∆ 1 = ∆ C = - 5   m m