Exercícios Resolvidos de Deslocabilidade externa – Recalque de apoio

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Enunciado

A estrutura abaixo sofreu um recalque no apoio A de 5cm para baixo e 1 cm para esquerda. Sabendo disso determine o deslocamento horizontal do ponto B. use E J = 2   .   10 4   k N m 2

Passo 1

Para podermos determinarmos a deformação precisamos antes de tudo determinar o williot da nossa estrutura. Para isso devemos marcar primeiro o ponto indeslocavel da nossa estrutura. Para isso sabemos que o indeslocavel é o engaste em D, porém o ponto que também seria indeslocável, que seria o ponto A, deixa de o ser devido ao deslocamento.

Com isso teremos que:

A partir desse ponto podemos marcar facilmente o ponto A, que desce 5 e anda 1 cm para esquerda, sendo assim o ponto A passa a ser.

Como nem o ponto B e nem o ponto C estão ligados a dois pontos conhecidos, podemos achar um deles por suposição, e depois encontrar o outro.

O ponto B por exemplo, sabemos que ele desce 5 cm junto com o ponto A, porém apenas o ponto A segue 1cm para frente, já que a rótula em B fará a barra rotacionar e não deslocar em 1 cm. Dessa maneira podemos descobrir facilmente B no nosso williot descendo ele 5cm a partir do ponto indeslocavel, ou da origem, sendo assim teremos que:

Agora a partir de B e de D podemos destemrinar o ponto C, basta traçarmos perpendiculares a cada uma das barras que se ligam a C, e a partir delas determinar o ponto de encontro no williot.

Fazendo isso teremos que:

E assim determinamos o nosso wiliot completo que será dado por:

Passo 2

O williot nos ajudará a determinar os deslocamentos da estrutura devido ao recalque do apoio.

Mas para isso precisamos saber os números de hiperestáticos da nossa estrutura.

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:
    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 3

Tendo a deslocabilidade e o williot, podemos determinar o valor de β 10 . Como temos um apoio do primeiro gênero, temos que determinar as reações de apoio, e para isso precisamos determinar as deslocabilidades e momentos de cada barra, usando o nosso amigo williot teremos que:

Perceba que somente uma barra será capaz de produzir reação de apoio. E essa reação de apoio que precisamos. Sendo assim teremos que:

Precisamos do valor de V B .

- 6 V B + 16,67 = 0

V B = 2,78

Como a direção é para frente, a reação de apoio também será, e com isso teremos que:

β 10 = 2,78

Passo 4

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2   e   3 l 3 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 6 2 = 0,083

3 l 3 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

6 H B - 0,083 = 0

H B = 0,0138

Para H c teremos que:

3 H C - 0,333 = 0

H C = 0,111

β 11 = H B + H c = 0,0138 + 0,111 = 0,1248

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

2,78 + 0,1248 ∆ 1 = 0

∆ 1 = - 22,28

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento horizontal do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ 1 = ∆ 1 . 1 E J = - 22,28   . 1 2   .   10 4 = 1,12   .   10 - 3 m = 1,12   m m

Resposta

∆ 1 = ∆ B = 1,12   m m