Exercícios Resolvidos de Difusividade em Sólidos

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Enunciado

Uma pastilha de silicone é dopado com fósforo. O valor nominal do coeficiente de difusão do fósforo em silicone a 1316   K é 1   x   10 - 13 c m ² / s e a 1408   K é   1   x   10 - 12 c m ² / s . Determine o valor do coeficiente de difusão a 1373   K .

Passo 1

Bom, nesse caso ai a gente vai usar a fórmula pra difusão em superfície, que tem essa cara aqui:

D A B = D 0 exp ⁡ - Q R T

R = 8,14   m 3 P a   / K   m o l   é a constante universal dos gases ideais. A gente não tem nem D 0 nem Q , mas como a gente tem a difusividade pra duas temperaturas diferentes a gente tem como descobrir!

Passo 2

Substituindo na equação para D A B :

P a r a   T 1 = 1316 K   →       1   x   10 - 13 = D 0 exp ⁡ - Q 10941,2

  P a r a   T 2 = 1 408 K   →         1   x   10 - 12 = D 0 exp ⁡ - Q 11706,1

Temos duas equações e duas icognitas ( Q e D 0 ) podemos então montar um sisteminha para descobrir as nossas icógnitas!

Como temos o exp ⁡   vamos aplicar ln ⁡   nos dois lados de cada expressão:

ln ⁡ 1   x   10 - 13 = ln ⁡ D 0 exp ⁡ - Q 10941,2

ln ⁡ 1   x   10 - 12 = ln ⁡ D 0 exp ⁡ - Q 11706,1

Agora vamos usar algumas propriedades do ln ⁡   . Logaritimo de um produto e logaritimo de uma potência:

ln ⁡   10 - 13 = ln ⁡ D 0 + ln ⁡ exp ⁡ - Q 10941,2

ln ⁡ 10 - 12 = ln ⁡ D 0 + ln ⁡ exp ⁡ - Q 11706,1

Aplicando a propriedade do logaritimo de uma potência e sabendo que ln ⁡ exp ⁡ = 1   , temos:

ln ⁡   10 - 13 = ln ⁡ D 0 + - Q 10941,2

ln ⁡   10 - 12 = ln ⁡ D 0 + - Q 11706,1

Agora podemos resolver nosso sisteminha!

ln ⁡ 10 - 1 = - Q 10941,2 ⁡ - - Q 11706,1

Resolvendo, achamos:

Q = 3,855 × 10 5   J / m o l

Agora eu vou pegar a equação de D A B   para T 1 , mas poderia ser a equação da T 2 também, tanto faz. Aqui a gente vai substituir o Q para achar D 0 .

1   x   10 - 13 = D 0 exp ⁡ - 3,855 × 10 5 10941,2

D 0 = 263,59   c m 2 / s  

Passo 3

Agora que achamos Q e D 0 :

Q = 3,855 × 10 5   J / m o l

D 0 = 213,31 c m 2 / s  

Podemos calcular o coeficiente de difusão ( D A B   ) a 1373 K :

D A B = 263,59   exp ⁡ - 3,855 × 10 5 8,314   ( 1373 ) = 5,68 × 10 - 13 c m 2 / s

Resposta

D A B = 5,68 × 10 - 13 c m 2 / s

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