Exercícios Resolvidos de Divergentes

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Enunciado

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = x e x y

Passo 1

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função f , ou seja,

F → = ∇ f

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

F → = ∂ f d x ,   ∂ f d y

Passo 2

Vamos tomar inicialmente a derivada de f na direção x .

∂ f d x = ∂ x e x y d x =   e x y + y x e x y = e x y ⋅ ( 1 + x y )

E na direção y temos

∂ f d y = ∂ x e x y d y = 0 + x 2 e x y = x 2 e x y

Desta forma escrevemos que

F → = e x y ⋅ 1 + x y , x 2 e x y = e x y 1 + x y , x 2

Passo 3

Uma representação do campo é dada pela figura a cima.

Resposta

F → = e x y ⋅ 1 + x y , x 2 e x y = e x y 1 + x y , x 2