Exercícios Resolvidos de Divergentes

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Enunciado

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = l n ⁡ ( 1 + x 2 + 2 y 2 )

Passo 1

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função e depois desenhar esse campo fazendo as curvas de nível correspondente ao gráfico.

Passo 2

Passo 3

Temos que o gradiente é definido por

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2

Aplicando regra da cadeia, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ ∂ d x x 2 = 1 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ x

Para a derivada em relação a y temos

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 = 1 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 4 ⋅ x

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

∇ ⋅ f = 2 ⋅ x 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ i → + 4 ⋅ y 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ j →

Resposta

∇ ⋅ f = 2 ⋅ x 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ i → + 4 ⋅ y 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ j →