Exercícios Resolvidos de EDOs no SIMULINK

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Enunciado

Considere o circuito elétrico abaixo:

O circuito possui um resistor e um capacitor em série alimentados por uma fonte constante. O capacitor possui tensão inicial v 0 = 10   V .

A equação diferencial que modela o circuito RC é:

v ' + 1 R C v = 1 R C E

Deseja-se obter a resposta v ( t ) × t para t ≥ 0 , por meio do SIMULINK.

Passo 1

O exercício pede encontrarmos v ( t ) solucionado a EDO que modela o curcuito RC usando o SIMULINK. Uma dica para resolver uma EDO pelo SIMULINK é deixar a derivada isolada no lado esquerdo da equação. Por isso, vamos rearranjar a EDO para:

v ' = 1 R C E - 1 R C v = 1 R C ( E - v )

Com isso, identificamos a expressão que é igual à derivada, montamos o diagrama de blocos que a representa e, na saída desse diagrama, incluímos um bloco “Integrator” para ter v ( t ) . Este v ( t ) será conduzido a um bloco “Scope”, para vermos seu gráfico.

Passo 2

Sabendo que E = 5   V , R = 1000   Ω e C = 1   m F = 0,001   F , a EDO se torna:

v ' = 1 R C E - v = 1 1000 ∙ 0,001 5 - v = 5 - v

Logo, v ’ é igual a 5 - v . Vamos começar modelando essa diferença. Em um novo modelo, insira um bloco “Constant” e faça com que ele seja igual a 5 . Em seguida, insira um bloco “Add” e altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo) para + - , de forma que “Add” tenha uma entrada positiva e outra negativa. Conecte “Constant” à entrada positiva:

Passo 3

A saída de “Add” será igual a 5 - v , que é igual a v ’ . Por isso, colocaremos à direita de “Add” um bloco “Integrator”, para obter v ( t ) . Para isto, vá à biblioteca “Continuous”, insira um bloco “Integrator” ao modelo e conecte sua entrada à saída de “Add”, como na figura abaixo:

Precisamos mudar a condição inicial para v ( 0 ) = 1 0 . Acesse as propriedades de “Integrator” e altere o parâmetro “Initial Condition” de 0 para 1 0 :

Passo 4

A saída de “Integrator” será v ( t ) , a solução pedida pelo enunciado. Para gerar o gráfico dela, insira um bloco “Scope” e conecte a saída de “Integrator” à entrada de “Scope”:

Leve v ( t ) para a entrada negativa de “Add”, para concluir a diferença 5 - v . Para isto, clique sobre a entrada negativa de “Add” e arraste. Aparecerá uma flecha vermelha tracejada, cuja extremidade livre você deve conectar à seta entre “Integrator” e “Scope”:

Pronto! Já montamos o diagrama de blocos que nos dará v ( t ) . Paa ver a curva de v ( t ) , execute o programa e clique duas vezes sobre o bloco “Scope”.

Resposta