Exercícios Resolvidos de EDOs no SIMULINK

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Enunciado

A seguinte equação descreve ao temperatura T ( t ) de um certo objeto imerso em um líquido com temperatura constante T b .

10 d T d t + T = T b

Suponha que a temperatura inicial do objeto é T 0 = 21   ° C e a temperatura do líquido é   T b = 77   ° C . Utilizando o SIMULINK:

  1. Plote a temperatura do objeto T ( t ) em função do tempo;
  2. Em quanto tempo a temperatura do objeto atingirá a temperatura do líquido?

Passo 1

Neste exercício, resolveremos a EDO para encontrar T ( t ) usando o SIMULINK. Geraremos o gráfico de T ( t ) para resolver a letra a e usaremos o gráfico para responder a letra b.

Para resolver uma EDO no SIMULINK, a dica é isolar a derivada de maior ordem da EDO, logo:

d T d t = T ' = 1 10 T b - T

Desta forma, conseguimos identificar onde colocaremos o bloco “Integrator” e qual bloco da biblioteca “Sources” podemos usar para começar a modelar a EDO.

Passo 2

Vamos começar modelando a diferença T b - T . Em um novo modelo do SIMULINK, insira um bloco “Constant” e faça com que seu valor seja igual a T b = 77   ° C . Em seguida, insira um bloco “Add” e altere seus parâmetros, de forma que ele tenha um entrada positiva e outra negativa:

O bloco “Add” receberá o sinal de T mais para frente, por isso, a saída de “Add” será T b - T .

Para termos 1 10 T b - T , insira um bloco “Gain”, faça com que seu ganho seja igual a 1 10 = 0,1 e conecte sua entrada à saída de “Add”:

A saída de “Gain” será 1 10 T b - T . E quem é igual 1 10 T b - T ? É T ’ ! Por isso, a saída de “Gain” será igual à derivada da nossa EDO.

Passo 3

Isso significa que temos que adicionar um bloco “Integrator” à direita de “Gain” e conectar a saída de “Gain” à entrada de “Integrator”. Desta forma, “Integrator” nos dará T . Não esqueça de mudar o parâmetro “Initial condition” de “Integrator” de 0 para 21 , pois T 0 = 21   ° C .

Para termos o gráfico de T ( t ) , insira um bloco “Scope” e conecte-o a “Integrator”:

Passo 4

Para finalizar o modelo, leve o sinal de T até a entrada negativa de “Add”:

A EDO está modelada! Vamos ver o gráfico de T ( t ) , executando a simulação e clicando duas vezes sobre “Scope”:

Rodei a simulação para 10   s . Contudo, note que o eixo vertical do gráfico vai só até 60 e na letra b queremos saber quanto tempo o objeto demora para atingir a temperatura do líquido, isto é, 77   ° C . Temos que aumentar o tempo de simulação para que a curva do gráfico atinja essa temperatura. Aumente o tempo para 30   s :

Agora o eixo vertical vai até 80 , pode ser que agora encontremos a temperatura de 77   ° C .

Passo 5

Para vermos os valores da curva, na janela do “Scope”, clique em “Try Time Scope” e o use o “Cursor Measurements”:

Leve o cursor 1 até o início da curva, onde teremos T ( 0 ) = 21 (destacado em amarelo abaixo). Arraste o cursor 2 até o final da curva para vermos a temperatura do objeto em 30   s (destacado em vermelho abaixo).

Note que T 30 = 74,212 e queremos saber o tempo que demora para que o objeto tenha um temperatura igual a 77 . Por isso, devemos aumentar o tempo de simulação até que consigamos que o cursor 2 nos retorne um valor igual ou muito próximo de 77 .

Passo 6

Sem fechar a janela do “Scope” com o gráfico e os cursores, aumente o tempo de simulação e rode o programa novamente. O gráfico se atualizará automaticamente. Faça esse procedimento até que o cursor 2 retorne 77 .

Eu fui aumentando o tempo de simulação até 120   s , quando finalmente encontrei o valor 77 (destacado em vermelho abaixo):

O tempo que o objeto demora para que sua temperatura atinja 77   ° C é dado pelo campo destacado em azul acima: 116,587   s .

Resposta

  1. Gráfico de T ( t ) :
  2. A temperatura do objeto atinge T b = 77   ° C em 116,587   s .