Exercícios Resolvidos de Eficiência

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Enunciado

Em   um certo equipamento de separação, a curva G   v e r s u s   d pode ser escrita por: G = 0,2 * d 0,5   p a r a   d ≤ 25   μ m G = 1   p a r a   d > 25   μ m

Sabendo que a expressão para y em função de d (em μ m ) na alimentação do separador é:

y = d 100 0,5

Calcule a eficiência global de coleta.

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos entender porque essa curva de G   v e r s u s   d está dividida em dois intervalos. Lembra que eu disse lá na teoria que G pode ser no máximo 1 , já que você não pode recuperar mais do que alimenta? Então, mas a curva que descreve G pode, em alguns casos, ultrapassar 1 , já que ela é um simples ajuste matemático; nesses casos, a gente força G no máximo 1 estabelecendo uma fronteira: até o diâmetro em que G = 1 por esse modelo matemático, calculamos G pelo modelo matemático; para diâmetros maiores, G = 1 .

Agora vamos ver o que a questão pede: temos G e queremos a eficiência global de coleta, ou seja, E T . Vimos, la na teoria, uma fórmula que relaciona esses dois caras:

E T = ∫ 0 1 G * d y

Só temos que prestar atenção porque, como G é dividida em intervalos, essa integral também vai ser:

E T = ∫ 0 y l i m ⁡ G * d y + ∫ y l i m 1 ⁡ G * d y

Em que y l i m ( y “limite”) é o y associado ao diâmetro de “fronteira”, diâmetro em que ocorre a divisão de G ; nesse exemplo, esse diâmetro é 25   μ m . Jogando na fórmula de y , achamos y l i m :

y = d 100 0,5

y l i m = 25 100 0,5 = 0,5

Daí:

E T = ∫ 0 0,5 ⁡ ( 0,2 * d 0,5 ) * d y + ∫ 0,5 1 ⁡ 1 * d y

Masssss, repara que tem um d pra ser integrado e estamos integrando em d y ; precisamos, antes de integrar, escrever d em função de y .

Passo 2

Como:

y = d 100 0,5

Elevando os dois lados ao quadrado:

y 2 = d 100

Isolando d :

d = 100 * y 2

Substituindo isso naquela integral:

E T = ∫ 0 0,5 ⁡ [ 0,2 * 100 * y 2 0,5 ] * d y + ∫ 0,5 1 ⁡ 1 * d y

E T = ∫ 0 0,5 ⁡ 2 * y * d y + ∫ 0,5 1 ⁡ 1 * d y

Resolvendo:

E T = 0,25 + 0,5 = 0,75

Resposta

E T = 0,75   o u   75 %