Potência em Circuito CA

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Teoria

Demorou mas chegou a hora. Até agora não tínhamos estudado como funciona a potência em circuitos de corrente alternada. Nesse tópico vamos começar! Se segura aí e vem comigo!

Potência instantânea

A potência instantânea p ( t ) é a potência em qualquer instante e nada mais é do que o produto da tensão instantânea v ( t ) e a corrente instantânea i ( t ) .

p t = v t i ( t )

Então, supondo que v t = 127 cos ⁡ 377 t + 30 °   V e i t = 5 cos ⁡ 377 t - 5 °   A , vamos calcular a potência instantânea.

p t = 127 cos ⁡ 377 t + 30 ° ×   5 cos ⁡ 377 t - 5 °

p t = 635 cos ⁡ 377 t + 30 ° cos ⁡ 377 t - 5 °

Lembrando da identidade trigonométrica

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Temos:

p t = 317,5 cos ⁡ 377 t + 30 ° + 377 t - 5 ° + cos ⁡ 377 t + 30 ° - 377 t + 5 °

p t = 317,5 cos ⁡ 754 t + 25 ° + cos ⁡ 35 °

p t = 260,08 + 317,5 cos ⁡ ( 754 t + 25 ° ) W

Lembrando que a sua unidade é watts ( W ) .

Como podemos notar, a potência instantânea tem uma parcela constante que depende da diferença de fase entre a tensão e a corrente e a outra parcela é uma função senoidal que possui o dobro da frequência angular. Vou escrever a forma generalizada para você visualizar.

Sendo,

v t = V m cos ⁡ ( ω t + θ v )       e       i t = I m cos ⁡ ( ω t + θ i )

A potência instantânea é

p t = 1 2 V m I m cos ⁡ ( θ v - θ i ) + 1 2 V m I m cos ⁡ ( 2 ω t + θ v + θ i )

Potência média

Como a potência instantânea varia com o tempo, fica difícil dela ser medida. Mas com um instrumento chamado wattímetro podemos medir a potência média, que é a média da potência instantânea.

A sua definição é

P = 1 T ∫ 0 T p t   d t

Mas para evitar de ficar calculando integral eu vou te dar uma dica: a potência média é igual a parcela constante da potência instantânea, ou seja:

P = 1 2 V m I m cos ⁡ ( θ v - θ i )

Lembrando essa fórmula não tem erro!

Partiu fazer um exemplo! No circuito abaixo vamos calcular a potência média fornecida pela fonte e a potência média absorvida pelo resistor.

Nosso primeiro passo é encontrar a corrente I :

I = 12 ∠ 30 ° 3 - j 6

I = 12 ∠ 30 ° 6,7 ∠ - 63,43 °

I = 1,79 ∠ 93,43 °   A

Agora que temos a tensão V e a corrente I , vamos calcular a potência média fornecida pela fonte:

P = 1 2 12 1,79 cos ⁡ ( 30 ° - 93,43 ° )

P = 4,8   W

Agora, vamos calcular a potência média absorvida pelo resistor. Primeiro, vamos calcular a tensão no resistor:

V R = 3 I = 3 ( 1,79 ∠ 93,43 ° )

V R = 5,37 ∠ 93,43 °   V

Então a potência média absorvida no resistor será:

P = 1 2 ( 5,37 ) ( 1,79 )

P = 4,8   W

Ué! A potência fornecida pela fonte é a mesma potência que o resistor absorve?

Sim! Apenas cargas resistivas absorvem potência, capacitores e indutores não absorvem potência. Nunca esqueça disso!

Também podemos encontrar a potência absorvida pelo resistor através da fórmula:

P = 1 2 R I 2

Onde I 2 = I   ×   I * .

Esse I *   é o conjugado da corrente I , ou seja se I = 10 + j 3 , então I * =   10 - j 3 . Ou na forma polar: I = 10 ∠ 90 ° então I * = 10 ∠ - 90 ° .

Máxima transferência de potência média

Quando falamos em máxima transferência de potência temos que ter em mente o teorema de Thévenin. No circuito abaixo termos o circuito equivalente de Thévenin conectado a uma carga Z L .

Sendo Z T h = R T h + j X T h e Z L = R L + j X L .

A máxima transferência de potência média ocorre quando a impedância da carga é igual ao conjugado complexo da impedância de Thévenin, ou seja:

Z L = Z T h *

R L + j X L = R T h - j X T h

Quando isso ocorre, a máxima potência média é

P m a x = V T h 2 8 R T h

Vamos fazer um exemplo. No circuito abaixo, vamos calcular o valor de Z L que maximiza a potência média absorvida do circuito e qual o valor dessa potência.

Como Z L = Z T h * temos:

Z L = 3 - j 4   Ω

A gente tem que só mudar o sinal da parte imaginária e pronto.

Já a potência será:

P m a x = V T h 2 8 R T h

P m a x = 10 2 8 ( 3 ) = 4,16   W

Pronto!

Valor eficaz ou RMS

O valor eficaz de uma função periódica é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal periódico. Confuso, né? Vamos com calma.

Para qualquer função periódica f ( t ) , o valor eficaz é:

F e f = 1 T ∫ 0 T f 2   d t

Ele também é conhecido como raiz do valor médio quadrático (root-mean-square), ou simplesmente de valor RMS.

F e f = F R M S

Por exemplo, vamos calcular o valor eficaz ou RMS para a senoide v t = V m cos ⁡ ω t .

V R M S = 1 T ∫ 0 T V m cos ⁡ ω t 2   d t

V R M S = 1 T ∫ 0 T V m 2 cos 2 ⁡ ω t d t

V R M S = V m 2 T ∫ 0 T 1 2 1 + cos ⁡ 2 ω t   d t

Como a média de uma senoide ao longo de seu período é zero, temos:

V R M S = V m 2

Então, quando a função é senoidal, para encontrarmos o valor RMS basta dividirmos a amplitude por 2 .

O valor RMS de uma corrente periódica corresponde a uma corrente CC que fornece a mesma potência média para um resistor que a corrente periódica.

Ou seja, tanto aplicando uma fonte de corrente CA periódica quanto aplicando uma fonte de corrente CC que possui o valor eficaz da fonte CA, o resistor absorverá a mesma potência.

Portanto, podemos encontrar a potência média absorvida em um resistor com essas equações abaixo:

P = R I R M S 2 = V R M S 2 R

Agora vamos praticar!

Potência média

Máxima transferência de potência média

Valor eficaz ou RMS

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Se v t = 1670 cos ⁡ 50 t   V e i t = - 33 sen ⁡ 50 t - 30 °   A , calcule a potência instantânea e a potência média.

Passo 1

Como vimos na teoria, a potência instantânea p ( t ) é a potência em qualquer instante e nada mais é do que o produto da tensão instantânea v ( t ) e a corrente instantânea i ( t ) .

p t = v t i ( t )

Passo 2

Como a corrente está escrita em termos de seno, precisamos passá-la para cosseno:

i t = - 33 sen ⁡ 50 t - 30 °   A = 33 cos ⁡ ( 50 t - 30 ° + 90 ° )

Então, como v t = 1670 cos ⁡ 50 t   V e i t = 33 cos ⁡ ( 50 t + 6 0 ° ) A , vamos calcular a potência instantânea.

p t = 1670 cos ⁡ ( 50 t ) ×   33 cos ⁡ ( 50 t + 60 ° )

p t = 55110 cos ⁡ ( 50 t ) cos ⁡ ( 50 t + 60 ° )

Lembrando da identidade trigonométrica

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Temos:

p t = 55110 2 cos ⁡ 50 t + 50 t + 60 ° + cos ⁡ 50 t - 50 t - 60 °

p t = 27555 cos ⁡ ( - 60 ° ) + 27555 cos ⁡ ( 100 t + 60 ° )

p t = 13777,5 + 27555 cos ⁡ ( 100 t + 60 ° )   W

Passo 3

Para encontrarmos a potência média é só aplicar a formula abaixo:

P = 1 2 V m I m cos ⁡ ( θ v - θ i )

Substituindo os valores:

P = 1 2 ( 1670 ) ( 33 ) cos ⁡ ( 0 - 60 ° )

P = 13777,5   W

Resposta

p t = 13777,5 + 27555 cos ⁡ ( 100 t + 60 ° )   W

P = 13777,5   W

Exercício Resolvido #2

Dado o circuito abaixo, determine a potência média fornecida ou absorvida por elemento.

Passo 1

Como vimos na teoria, apenas cargas resistivas absorvem potência. Capacitores e indutores não absorvem potência. Então, a potência absorvida no resistor será igual a potência fornecida pela fonte.

Passo 2

Vamos calcular a potência absorvida pelo resistor através da formula:

P = 1 2 R I 2

Para isso, precisamos encontrar a corrente que passa pelo resistor. Então, aplicando divisor de corrente no circuito abaixo, temos:

I 2 = - j 4 + j 5 - j 4 + j 2

I 2 = - j 6 5 - j 3

Passando para forma polar:

I 2 = 6 ∠ - 90 ° 5,83 ∠ - 30,96 ° = 1,03 ∠ - 59,04 °   A

Passo 3

Aplicando a fórmula:

P = 1 2 5 I 2 2

P = 2,5 I 2   ×   I 2 *

P = 2,5 1,03 ∠ - 59,04 °     ×   1,03 ∠ 59,04 °  

P = 2,5 1,03 2

P = 2,65   W

Portanto, a potência absorvida pelo resistor e fornecida pela fonte de corrente é 2,65   W . Além disso, o indutor e o capacitor não absorvem potência.

Resposta

A potência absorvida pelo resistor e fornecida pela fonte de corrente é 2,65   W . Além disso, o indutor e o capacitor não absorvem potência.

Exercício Resolvido #3

No circuito abaixo, determine a potência média absorvida pelo resistor de 40   Ω .

Passo 1

Como vimos na teoria, apenas cargas resistivas absorvem potência. Capacitores e indutores não absorvem potência. Vamos calcular a potência absorvida pelo resistor através da formula:

P = 1 2 R I 2

Passo 2

Precisamos encontrar a corrente que passa pelo resistor. Para isso, vamos fazer uma análise nodal no circuito.

Aplicando a LCK ao nó 1:

I 1 = I 2 + I 0

Substituindo:

6 = V 1 j 10 + V 1 - V 2 - j 20

6 = - j 0,1 V 1 + j 0,05 V 1 - j 0,05 V 2

6 = - j 0,0 5 V 1 - j 0,05 V 2

V 1 + V 2 = 6 - j 0,05

V 1 + V 2 = j 120

Aplicando a LCK ao nó 2:

I 0 + 0,5 I 0 = I 3

1,5 I 0 - I 3 = 0

Substituindo:

1,5 V 1 - V 2 - j 20 - V 2 40 = 0

j 0,075 V 1 - j 0,075 V 2 - 0,025 V 2 = 0

j 0,075 V 1 - 0,025 + j 0,075 V 2 = 0     ( i i )

Passo 3

Isolando V 1 na primeira equação:

V 1 = j 120 - V 2  

Agora substituindo na segunda:

j 0,075 ( j 120 - V 2 ) - 0,025 + j 0,075 V 2 = 0  

- 9 - j 0,075 V 2 - 0,025 + j 0,075 V 2 = 0

- 0,025 + j 0,15 V 2 = 9

V 2 = - 9 0,152 ∠ 80,54 ° = - 59,2 ∠ - 80,5 4 °   V

Passo 4

Pela lei de Ohm, temos no resistor de 40   Ω :

I 3 = V 2 40

I 3 = - 59,2 ∠ - 80,54 ° 40 = - 1,48 ∠ - 80,54 °   A

Agora que temos a corrente que passa pelo resistor de 40   Ω . Podemos encontrar a potência media absorvida por esse resistor através da fórmula:

P = 1 2 40 I 3 2

P = 20 ( I 3 × I 3 * )

P = 20 1,48 2 = 43,8   W

Resposta

P = 43,8   W

Exercício Resolvido #4

Calcule o valor RMS da forma de onda de corrente abaixo:

Passo 1

Primeiro temos que encontrar a expressão de i ( t ) . Analisando a onda vemos que seu período é 5 . Logo:

T = 5

Além disso, nesse período a forma de onda da corrente é uma reta:

i t = t

Passo 2

Agora, é só jogar na fórmula e calcular o valor RMS:

I R M S = 1 T ∫ 0 T i 2   d t

I R M S = 1 5 ∫ 0 5 t 2   d t

I R M S = 1 5 t 3 3   5 0    

I R M S = 1 5 5 3 3  

I R M S = 125 15  

I R M S = 8,33  

I R M S = 2,887   A

Resposta

I R M S = 2,887   A

Exercício Resolvido #5

Determine o valor RMS da onda senoidal deslocada abaixo:

Passo 1

Primeiro temos que encontrar a expressão de i ( t ) . Analisando a onda vemos que seu período é π . Logo:

T = π

Como

ω = 2 π T

Temos:

ω = 2 π π = 2   r a d / s

Além disso, o seu valor de um pico ao outro é 4   A . Portanto a sua amplitude será:

I m = 4 2 = 2   A

Então, já sabemos que parte da expressão terá o termo abaixo:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 2

Agora, vamos analisar o deslocamento. Para isso, vamos escolher um ponto do gráfico. Por exemplo a origem ( t = 0 ) . Substituindo na expressão que temos até agora:

2 cos ⁡ ( 2 t ) = 2 cos ⁡ 0 = 2

No gráfico, quando t = 0 a corrente vale zero. Logo, para nossa expressão está de acordo com a onda do gráfico precisamos que o seu valor na origem seja zero. Temos duas formas de fazer isso:

a   i t =   2 cos ⁡ 2 t - 2

b   i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Para verificarmos qual é a que corresponde ao gráfico, vamos escolher um novo ponto. Por exemplo, quando t = π / 2 .

Substituindo em a :

  i t =   2 cos ⁡ 2 π / 2 - 2

i t = 2 cos ⁡ ( π ) - 2

i t = 2 ( - 1 ) - 2

i t = - 4   A

Esse resultado não está de acordo com o gráfico, já que em t = π / 2 a corrente vale 4   A .

Substituindo em b :

  i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 π / 2 )

i t = 2 - 2 ( - 1 )

i t = 2 + 2

i t = 4   A

Esse resultado bate com o gráfico! Logo a expressão que descreve o gráfico é:

i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor RMS:

I R M S = 1 T ∫ 0 T i 2   d t

I R M S = 1 π ∫ 0 π 2 - 2 cos ⁡ 2 t 2   d t

I R M S = 1 π ∫ 0 π 4 + 8 cos ⁡ 2 t + 4 cos 2 ⁡ 2 t   d t

I R M S = 1 π ∫ 0 π 4   d t + ∫ 0 π 8 cos ⁡ 2 t   d t + ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ 2 t d t

Lembrando que a integral ao longo do período de uma função senoidal é zero

∫ 0 π 8 cos ⁡ 2 t   d t = 0

e da relação

cos 2 ⁡ a = 1 + cos ⁡ 2 a 2

temos:

I R M S = 1 π 4 π - 0 + 4 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 4 t 2