Potência em Circuito CA

Teoria Completa

Demorou mas chegou a hora. Até agora não tínhamos estudado como funciona a potência em circuitos de corrente alternada. Nesse tópico vamos começar! Se segura aí e vem comigo!

Potência instantânea

A potência instantânea p ( t ) é a potência em qualquer instante e nada mais é do que o produto da tensão instantânea v ( t ) e a corrente instantânea i ( t ) .

p t = v t i ( t )

Então, supondo que v t = 127 cos ⁡ 377 t + 30 °   V e i t = 5 cos ⁡ 377 t - 5 °   A , vamos calcular a potência instantânea.

p t = 127 cos ⁡ 377 t + 30 ° ×   5 cos ⁡ 377 t - 5 °

p t = 635 cos ⁡ 377 t + 30 ° cos ⁡ 377 t - 5 °

Lembrando da identidade trigonométrica

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Temos:

p t = 317,5 cos ⁡ 377 t + 30 ° + 377 t - 5 ° + cos ⁡ 377 t + 30 ° - 377 t + 5 °

p t = 317,5 cos ⁡ 754 t + 25 ° + cos ⁡ 35 °

p t = 260,08 + 317,5 cos ⁡ ( 754 t + 25 ° ) W

Lembrando que a sua unidade é watts ( W ) .

Como podemos notar, a potência instantânea tem uma parcela constante que depende da diferença de fase entre a tensão e a corrente e a outra parcela é uma função senoidal que possui o dobro da frequência angular. Vou escrever a forma generalizada para você visualizar.

Sendo,

v t = V m cos ⁡ ( ω t + θ v )       e       i t = I m cos ⁡ ( ω t + θ i )

A potência instantânea é

p t = 1 2 V m I m cos ⁡ ( θ v - θ i ) + 1 2 V m I m cos ⁡ ( 2 ω t + θ v + θ i )

Potência média

Como a potência instantânea varia com o tempo, fica difícil dela ser medida. Mas com um instrumento chamado wattímetro podemos medir a potência média, que é a média da potência instantânea.

A sua definição é

P = 1 T ∫ 0 T p t   d t

Mas para evitar de ficar calculando integral eu vou te dar uma dica: a potência média é igual a parcela constante da potência instantânea, ou seja:

P = 1 2 V m I m cos ⁡ ( θ v - θ i )

Lembrando essa fórmula não tem erro!

Partiu fazer um exemplo! No circuito abaixo vamos calcular a potência média fornecida pela fonte e a potência média absorvida pelo resistor.

Nosso primeiro passo é encontrar a corrente I :

I = 12 ∠ 30 ° 3 - j 6

I = 12 ∠ 30 ° 6,7 ∠ - 63,43 °

I = 1,79 ∠ 93,43 °   A

Agora que temos a tensão V e a corrente I , vamos calcular a potência média fornecida pela fonte:

P = 1 2 12 1,79 cos ⁡ ( 30 ° - 93,43 ° )

P = 4,8   W

Agora, vamos calcular a potência média absorvida pelo resistor. Primeiro, vamos calcular a tensão no resistor:

V R = 3 I = 3 ( 1,79 ∠ 93,43 ° )

V R = 5,37 ∠ 93,43 °   V

Então a potência média absorvida no resistor será:

P = 1 2 ( 5,37 ) ( 1,79 )

P = 4,8   W

Ué! A potência fornecida pela fonte é a mesma potência que o resistor absorve?

Sim! Apenas cargas resistivas absorvem potência, capacitores e indutores não absorvem potência. Nunca esqueça disso!

Também podemos encontrar a potência absorvida pelo resistor através da fórmula:

P = 1 2 R I 2

Onde I 2 = I   ×   I * .

Esse I *   é o conjugado da corrente I , ou seja se I = 10 + j 3 , então I * =   10 - j 3 . Ou na forma polar: I = 10 ∠ 90 ° então I * = 10 ∠ - 90 ° .

Máxima transferência de potência média

Quando falamos em máxima transferência de potência temos que ter em mente o teorema de Thévenin. No circuito abaixo termos o circuito equivalente de Thévenin conectado a uma carga Z L .

Sendo Z T h = R T h + j X T h e Z L = R L + j X L .

A máxima transferência de potência média ocorre quando a impedância da carga é igual ao conjugado complexo da impedância de Thévenin, ou seja:

Z L = Z T h *

R L + j X L = R T h - j X T h

Quando isso ocorre, a máxima potência média é

P m a x = V T h 2 8 R T h

Vamos fazer um exemplo. No circuito abaixo, vamos calcular o valor de Z L que maximiza a potência média absorvida do circuito e qual o valor dessa potência.

Como Z L = Z T h * temos:

Z L = 3 - j 4   Ω

A gente tem que só mudar o sinal da parte imaginária e pronto.

Já a potência será:

P m a x = V T h 2 8 R T h

P m a x = 10 2 8 ( 3 ) = 4,16   W

Pronto!

Valor eficaz ou RMS

O valor eficaz de uma função periódica é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal periódico. Confuso, né? Vamos com calma.

Para qualquer função periódica f ( t ) , o valor eficaz é:

F e f = 1 T ∫ 0 T f 2   d t

Ele também é conhecido como raiz do valor médio quadrático (root-mean-square), ou simplesmente de valor RMS.

F e f = F R M S

Por exemplo, vamos calcular o valor eficaz ou RMS para a senoide v t = V m cos ⁡ ω t .

V R M S = 1 T ∫ 0 T V m cos ⁡ ω t 2   d t

V R M S = 1 T ∫ 0 T V m 2 cos 2 ⁡ ω t d t

V R M S = V m 2 T ∫ 0 T 1 2 1 + cos ⁡ 2 ω t   d t

Como a média de uma senoide ao longo de seu período é zero, temos:

V R M S = V m 2

Então, quando a função é senoidal, para encontrarmos o valor RMS basta dividirmos a amplitude por 2 .

O valor RMS de uma corrente periódica corresponde a uma corrente CC que fornece a mesma potência média para um resistor que a corrente periódica.

Ou seja, tanto aplicando uma fonte de corrente CA periódica quanto aplicando uma fonte de corrente CC que possui o valor eficaz da fonte CA, o resistor absorverá a mesma potência.

Portanto, podemos encontrar a potência média absorvida em um resistor com essas equações abaixo:

P = R I R M S 2 = V R M S 2 R

Agora vamos praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.435, Problema 11.1

Se v t = 1670 cos ⁡ 50 t   V e i t = - 33 sen ⁡ 50 t - 30 °   A , calcule a potência instantânea e a potência média.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como vimos na teoria, a potência instantânea p ( t ) é a potência em qualquer instante e nada mais é do que o produto da tensão instantânea v ( t ) e a corrente instantânea i ( t ) .

p t = v t i ( t )

Passo 2

Como a corrente está escrita em termos de seno, precisamos passá-la para cosseno:

i t = - 33 sen ⁡ 50 t - 30 °   A = 33 cos ⁡ ( 50 t - 30 ° + 90 ° )

Então, como v t = 1670 cos ⁡ 50 t   V e i t = 33 cos ⁡ ( 50 t + 6 0 ° ) A , vamos calcular a potência instantânea.

p t = 1670 cos ⁡ ( 50 t ) ×   33 cos ⁡ ( 50 t + 60 ° )

p t = 55110 cos ⁡ ( 50 t ) cos ⁡ ( 50 t + 60 ° )

Lembrando da identidade trigonométrica

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Temos:

p t = 55110 2 cos ⁡ 50 t + 50 t + 60 ° + cos ⁡ 50 t - 50 t - 60 °

p t = 27555 cos ⁡ ( - 60 ° ) + 27555 cos ⁡ ( 100 t + 60 ° )