Potência Complexa

Teoria Completa

Potência aparente

Vamos continuar estudando a potência em circuitos CA. No tópico anterior vimos que uma das fórmulas de potência média é:

P = V R M S I R M S cos ⁡ ( θ v - θ i )

Essa potência também é chamada de potência ativa ou potência real e também podemos escrevê-la assim:

P = S cos ⁡ ( θ v - θ i )

Onde,

S = V R M S I R M S

S é chamada de potência aparente e é medida em volt-ampères ou VA. Além disso, adivinha, o termo cos ⁡ ( θ v - θ i ) também tem um nome! Esse termo é chamado de fator de potência (FP).

F P = cos ⁡ ( θ v - θ i ) = P S  

Muitos nomes novos né?! Calma, vamos fazer um exemplo para você fixar. No circuito abaixo, vamos determinar a potência aparente S , o fator de potência e a impedância da carga Z L .

A potência aparente será:

S = V R M S I R M S

S = 10 2 × 5 2 = 50 2

S = 25   V A

Já o fator de potência será:

F P = cos ⁡ ( θ v - θ i )

F P = cos ⁡ ( 45 ° - 60 ° )

F P = cos ⁡ ( - 15 ° ) = 0,96     ( a d i a n t a d o )

Quando o ângulo do fator de potência ( θ v - θ i ) é negativo dizemos que o fator de potência está adiantado, porque a corrente está adiantada em relação à tensão.

Se o ângulo fosse positivo, o fator de potência estaria atrasado, porque a corrente estaria atrasada em relação à tensão.

Agora, precisamos calcular a impedância:

Z L = V I

Z L = V I = 10 ∠ 45 ° 5 ∠ 60 °

Z L = 2 ∠ - 15 °   Ω

Como podemos ver, o ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância. Além disso, ele é negativo, o que indica que a carga é predominantemente capacitiva.

Também poderíamos confirmar isso analisando a forma retangular:

Z L =   1,93 - j 0,517   Ω

Como Z L tem parte imaginária negativa consideramos que a carga é predominantemente capacitiva.

Vou fazer uma tabela esperta aqui para você não esquecer como é que funciona.

Potência complexa

Agora vamos juntar tudo o que a gente aprendeu. A potência complexa é importante porque ela contém praticamente todas as informações sobre a potência de um circuito. Como o próprio nome diz, ela é um número complexo e é definida da seguinte forma:

S = 1 2 V I *

Onde V = V m ∠ θ v e I = I m ∠ θ i . Ou seja: a potência complexa S que um carga absorve, é o produto da tensão com o conjugado da corrente

Passando para valores RMS:

S = 1 2 2 V R M S 2   I R M S *

S = V R M S I R M S *

Então, podemos escrever a equação acima assim:

S = V R M S I R M S ∠ ( θ v - θ i )

Passando para forma retangular:

S = V R M S I R M S cos ⁡ ( θ v - θ i ) + j V R M S I R M S sen ⁡ ( θ v - θ i )

Como podemos ver, a parte real de S é a potência ativa P em watts. Além disso, chamamos a parte imaginária de potência reativa Q , na qual a unidade é VAR (volt-ampére reativo). Ou seja:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ v - θ i         e       Q = V R M S I R M S sen ⁡ θ v - θ i

S = P + j Q

Além disso, podemos escrever a potência complexa em função da impedância complexa Z . Pela lei de Ohm

V R M S =   Z I R M S

Multiplicando pelo conjugado da corrente nos dois lados da equação, temos:

V R M S I R M S * =   Z I R M S I R M S *

S = Z I R M S 2

Lembrando que Z = R + j X , a equação acima fica assim:

S = ( R + j X ) I R M S 2

Portanto, a potência ativa P e reativa Q será:

P = R e S = R I R M S 2

Q = I m S = X I R M S 2

Além disso:

Q = 0   → C a r g a s     r e s i s t i v a s → F P   u n i t á r i o

Q < 0 → C a r g a s     c a p a c i t i v a s → F P   a d i a n t a d o

Q > 0 → C a r g a s   i n d u t i v a s → F P   a t r a s a d o

Partiu fazer um exemplo!

No circuito abaixo, vamos determinar as potências complexa e aparente; as potências real e reativa; o fator de potência e a impedância da carga.

Passo 1:

Primeiro vamos passar a tensão e a corrente para seus valores RMS:

V R M S = 120 2 ∠ 60 °       e       I R M S = 5 2 ∠ 30 °  

Então, aplicando a fórmula, a potência complexa será:

S = V R M S I R M S *

S = 120 2 ∠ 60 ° 5 2 ∠ - 30 °  

S = 300 ∠ 30 °   V A

A potência aparente é o módulo da potência complexa:

S = S = 300   V A

Passo 2:

Agora vamos escrever a potência complexa na forma retangular:

S = 300 cos ⁡ 30 + j sen ⁡ 30

S = 259,8 + j 150   V A

Como S = P + j Q , a potência ativa será:

P = 259,8   W

Já a reativa:

Q = 150   V A R

Passo 3:

O ângulo do fator de potência é o ângulo da impedância. Então, vamos calcular Z L primeiro. Pela lei de Ohm:

Z L = V I

Z L = 120 ∠ 60 ° 5 ∠ 30 ° = 24 ∠ 30 °   Ω

Portanto o fator de potência será:

F P = cos ⁡ 30 ° = 0,866   ( a t r a s a d o )

Como o ângulo da impedância é positivo, ela é uma impedância indutiva. Logo, o FP é atrasado. Também poderíamos concluir isso vendo que a potência reativa Q é positiva.

Além disso, o ângulo da impedância é igual ao ângulo da potência complexa. Então, poderíamos ter calculado o fator de potência primeiro, utilizando o ângulo da potência complexa.

Beleza! Antes de continuar vou fazer um resumão do que estudamos:

Também é muito comum representar S , P e Q na forma de um triângulo:

Esse triangulo é chamado de triângulo das potências e ajuda muito, pois sabendo as relações trigonométricas básicas chegamos à resposta sem precisar decorar fórmulas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.438, Problema 11.38

Para o sistema de potência da figura abaixo, determine:

  1. A potência média
  2. A potência reativa
  3. O fator de potência

Note que 220 V é um valor RMS.

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Passo 1

Para calcular a potência média, precisamos lembrar da fórmula:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ

Já foi fornecido o valor da tensão. Precisamos, então, calcular o valor da corrente que passa no circuito e o ângulo do fator de potência.

Passo 2

Para calcular a corrente que passa pelo circuito, vamos utilizar a Lei de Ohm:

V = Z × I

No caso do circuito acima, como todas as impedâncias estão em paralelo, a tensão será:

V R M S = 220   V

Passo 3

Para calcular a corrente, falta ainda calcularmos a impedância equivalente do circuito. Como elas estão em paralelo:

Z e q 1 = 124 ∠ 0 ° × 20 - j 25 124 ∠ 0 ° + 20 - j 25

Z e q 1 = 124 ∠ 0 ° × 32,01 ∠ - 51,34 ° 124 + 20 - j 25

Z e q 1 = 3970,48 ∠ - 51,34 ° 144 - j 25

Z e q 1 = 3969,24 ∠ - 51,34 ° 146,15 ∠ - 9,85

Z e q 1 = 27,17 ∠ - 41,49 °   Ω

Passo 4

Para finalizar o cálculo da impedância equivalente total, temos que fazer o cálculo do paralelo de Z e q 1 com a impedância 90 + j 80 .

Z e q T o t a l = Z e q 1 90 + j 80

Z e q T o t a l = 27,17 ∠ - 41,49 ° × 90 + j 80 27,17 ∠ - 41,49 ° + 90 + j 80

Z e q T o t a l = 27,17 ∠ - 41,49 ° × 120,42 ∠ 41,63 ° 20,35 - j 18 + 90 + j 80

Z e q T o t a l = 3271,81 ∠ 0,14 ° 110,35 + j 62

Z e q T o t a l =   3271,81 ∠ 0,14 ° 126,57 ∠ 29,33 °

Z e q T o t a l = 25,85 ∠ - 29,19 °   Ω  

Lembrando que o ângulo do fator de potência é o ângulo da impedância, que, neste caso, será o da impedância total:

θ F P = - 29,19 °

cos ⁡ θ F P = 0,873

Passo 5

Finalmente, a corrente será:

I R M S = V R M S Z e q T o t a l

I R M S = 220 25,85 ∠ - 29,19 °

I R M S = 8,51 ∠ 29,19 °   A

Passo 6

Para calcular a potência média, colocamos os dados calculados na fórmula:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ

P = 220 × 8,51 × cos ⁡ ( - 29,19 ° )

P = 1634,44   W

Passo 7

Por fim, precisamos calcular a potência reativa:

Q = V R M S I R M S s e n   θ

Q = 220 × 8,51 × s e n ( - 29,19 ° )

Q = - 913,08   V A R

Se a gente analisar, o sinal da potência reativa deu negativo. Isso significa que a carga é predominantemente capacitiva.

Resposta

a )   P = 1634,44   W

b )   Q = - 913,08   V A R

c )   cos ⁡ θ F P = 0,873

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.438, Problema 11.41

Obtenha o fator de potência para cada um dos circuitos abaixo. Especifique se cada fator de potência está adiantado ou atrasado.

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Passo 1

O fator de potência é o cosseno do ângulo da impedância equivalente do circuito. Logo, para o primeiro circuito, teremos que:

Z e q = { j 5 - j 2 ( - j 2 ) } + 4

Z e q = { j 3 ( - j 2 ) } + 4

Z e q = j 3 × - j 2 j 3 - j 2 + 4

Z e q = 6 ∠ 0 ° j 1 + 4

Z e q = 6 ∠ 0 ° 1 ∠ 90 ° + 4

Z e q = 6 ∠ - 90 ° + 4

Z e q = 4 - j 6

Z e q = 7,21 ∠ - 56,31 °   Ω

Passo 2

O fator e potência para o primeiro circuito, será, então:

cos ⁡ - 56,31 ° = 0,554

Como o ângulo da impedância equivalente deu um número negativo, o fator de potência está adiantado. Ou seja: a carga é predominantemente capacitiva.

Passo 3

Para o próximo circuito, vamos fazer os cálculos em etapas:

Z e q 1 = ( 4 + j 1 ) ( j 2 )

Z e q 1 = 4 + j 1 × j 2 4 + j 1 + j 2

Z e q 1 = 4,12 ∠ 14,04 ° × 2 ∠ 90 ° 4 + j 1 + j 2

Z e q 1 = 8,25 ∠ 104,04 ° 4 + j 3

Z e q 1 = 8,25 ∠ 104,04 ° 5 ∠ 36,87 °

Z e q 1 = 1,65 ∠ 67,17 °   Ω

Passo 4

Agora temos que calcular a impedância equivalente para a outra parte do circuito:

Z e q 2 = ( Z e q 1 ) + ( - j 1 )

Z e q 2 = ( 1,65 ∠ 67,17 ° ) + ( - j 1 )

Z e q 2 = 0,634 + j 1,52 - j 1

Z e q 2 = 0,634 + j 0,52

Z e q 2 = 0,82 ∠ 39,36 °   Ω

Passo 5

Finalmente:

Z e q T o t a l = ( Z e q 2 ) ( 1 )  

Z e q T o t a l = 0,82 ∠ 39,36 ° × 1 0,634 + j 0,52 + 1  

Z e q T o t a l = 0,82 ∠ 39,36 ° 1,634 + j 0,52

Z e q T o t a l = 0,82 ∠ 39,36 ° 1,71 ∠ 17,65 °

Z e q T o t a l = 0,478 ∠ 21,7 °   Ω

Passo 6

O fator e potência para o segundo circuito, será, então:

cos ⁡ 21,7 ° = 0,93

Como o ângulo da impedância equivalente deu um número positivo, o fator de potência está atrasado. Ou seja: a carga é predominantemente indutiva.

Resposta

Primeiro circuito: FP = 0,554 adiantado

Segundo circuito: FP = 0,93 atrasado

Exercício Resolvido #3

Livro Sadiku, p.439, Problema 11.46

Para os fasores de tensão e corrente a seguir, calcule a potência complexa, a potência aparente, a potência real e a potência reativa. Especifique se o FP está adiantado ou atrasado.

  1. V = 220 ∠ 30 °   V   R M S ,   I = 0,5 ∠ 60 °   A   R M S
  2. V = 250 ∠ - 10 °   V   R M S ,   I = 6,2 ∠ - 25 °   A   R M S
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Passo 1

Vamos começar pela letra a). Primeiro, vamos calcular a potência complexa, que é dada pela fórmula abaixo:

S = V R M S I R M S * = V R M S I R M S   ∠ θ v - θ i

S = 220 ∠ 30 ° × 0,5 ∠ - 60 °

S = 110 ∠ - 30 °   V A

Passo 2

Como foi estudado na teoria, a potência complexa também pode ser escrita nesta forma:

S = P + j Q

Logo, passando a potência complexa calculada no passo acima para a forma retangular:

S = 95,26 - j 55

Então, já temos os valores das potências real e reativa:

P = 95,26   W

Q = - 55   V A R

Passo 3

Para vermos se o ângulo do fator de potência está adiantado ou atrasado, temos que analisar o ângulo da potência complexa, já que:

θ F P = θ v - θ i

Então, analisando a potência complexa, podemos perceber que o ângulo do FP é:

θ F P = - 30 °  

Isso significa que o fator de potência está adiantado. Ou seja: a corrente está adiantada em 30 ° em relação à tensão.

Passo 4

Para a letra b) faremos a mesma análise:

S = V R M S I R M S * = V R M S I R M S   ∠ θ v - θ i