Potência Complexa

Teoria Completa

Potência aparente

Vamos continuar estudando a potência em circuitos CA. No tópico anterior vimos que uma das fórmulas de potência média é:

P = V R M S I R M S cos ⁡ ( θ v - θ i )

Essa potência também é chamada de potência ativa ou potência real e também podemos escrevê-la assim:

P = S cos ⁡ ( θ v - θ i )

Onde,

S = V R M S I R M S

S é chamada de potência aparente e é medida em volt-ampères ou VA. Além disso, adivinha, o termo cos ⁡ ( θ v - θ i ) também tem um nome! Esse termo é chamado de fator de potência (FP).

F P = cos ⁡ ( θ v - θ i ) = P S  

Muitos nomes novos né?! Calma, vamos fazer um exemplo para você fixar. No circuito abaixo, vamos determinar a potência aparente S , o fator de potência e a impedância da carga Z L .

A potência aparente será:

S = V R M S I R M S

S = 10 2 × 5 2 = 50 2

S = 25   V A

Já o fator de potência será:

F P = cos ⁡ ( θ v - θ i )

F P = cos ⁡ ( 45 ° - 60 ° )

F P = cos ⁡ ( - 15 ° ) = 0,96     ( a d i a n t a d o )

Quando o ângulo do fator de potência ( θ v - θ i ) é negativo dizemos que o fator de potência está adiantado, porque a corrente está adiantada em relação à tensão.

Se o ângulo fosse positivo, o fator de potência estaria atrasado, porque a corrente estaria atrasada em relação à tensão.

Agora, precisamos calcular a impedância:

Z L = V I

Z L = V I = 10 ∠ 45 ° 5 ∠ 60 °

Z L = 2 ∠ - 15 °   Ω

Como podemos ver, o ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância. Além disso, ele é negativo, o que indica que a carga é predominantemente capacitiva.

Também poderíamos confirmar isso analisando a forma retangular:

Z L =   1,93 - j 0,517   Ω

Como Z L tem parte imaginária negativa consideramos que a carga é predominantemente capacitiva.

Vou fazer uma tabela esperta aqui para você não esquecer como é que funciona.

Potência complexa

Agora vamos juntar tudo o que a gente aprendeu. A potência complexa é importante porque ela contém praticamente todas as informações sobre a potência de um circuito. Como o próprio nome diz, ela é um número complexo e é definida da seguinte forma:

S = 1 2 V I *

Onde V = V m ∠ θ v e I = I m ∠ θ i . Ou seja: a potência complexa S que um carga absorve, é o produto da tensão com o conjugado da corrente

Passando para valores RMS:

S = 1 2 2 V R M S 2   I R M S *

S = V R M S I R M S *

Então, podemos escrever a equação acima assim:

S = V R M S I R M S ∠ ( θ v - θ i )

Passando para forma retangular:

S = V R M S I R M S cos ⁡ ( θ v - θ i ) + j V R M S I R M S sen ⁡ ( θ v - θ i )

Como podemos ver, a parte real de S é a potência ativa P em watts. Além disso, chamamos a parte imaginária de potência reativa Q , na qual a unidade é VAR (volt-ampére reativo). Ou seja:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ v - θ i         e       Q = V R M S I R M S sen ⁡ θ v - θ i

S = P + j Q

Além disso, podemos escrever a potência complexa em função da impedância complexa Z . Pela lei de Ohm

V R M S =   Z I R M S

Multiplicando pelo conjugado da corrente nos dois lados da equação, temos:

V R M S I R M S * =   Z I R M S I R M S *

S = Z I R M S 2

Lembrando que Z = R + j X , a equação acima fica assim:

S = ( R + j X ) I R M S 2

Portanto, a potência ativa P e reativa Q será:

P = R e S = R I R M S 2

Q = I m S = X I R M S 2

Além disso:

Q = 0   → C a r g a s     r e s i s t i v a s → F P   u n i t á r i o

Q < 0 → C a r g a s     c a p a c i t i v a s → F P   a d i a n t a d o

Q > 0 → C a r g a s   i n d u t i v a s → F P   a t r a s a d o

Partiu fazer um exemplo!

No circuito abaixo, vamos determinar as potências complexa e aparente; as potências real e reativa; o fator de potência e a impedância da carga.

Passo 1:

Primeiro vamos passar a tensão e a corrente para seus valores RMS:

V R M S = 120 2 ∠ 60 °       e       I R M S = 5 2 ∠ 30 °  

Então, aplicando a fórmula, a potência complexa será:

S = V R M S I R M S *

S = 120 2 ∠ 60 ° 5 2 ∠ - 30 °  

S = 300 ∠ 30 °   V A

A potência aparente é o módulo da potência complexa:

S = S = 300   V A

Passo 2:

Agora vamos escrever a potência complexa na forma retangular:

S = 300 cos ⁡ 30 + j sen ⁡ 30

S = 259,8 + j 150   V A

Como S = P + j Q , a potência ativa será:

P = 259,8   W

Já a reativa:

Q = 150   V A R

Passo 3:

O ângulo do fator de potência é o ângulo da impedância. Então, vamos calcular Z L primeiro. Pela lei de Ohm:

Z L = V I

Z L = 120 ∠ 60 ° 5 ∠ 30 ° = 24 ∠ 30 °   Ω

Portanto o fator de potência será:

F P = cos ⁡ 30 ° = 0,866   ( a t r a s a d o )

Como o ângulo da impedância é positivo, ela é uma impedância indutiva. Logo, o FP é atrasado. Também poderíamos concluir isso vendo que a potência reativa Q é positiva.

Além disso, o ângulo da impedância é igual ao ângulo da potência complexa. Então, poderíamos ter calculado o fator de potência primeiro, utilizando o ângulo da potência complexa.

Beleza! Antes de continuar vou fazer um resumão do que estudamos:

Também é muito comum representar S , P e Q na forma de um triângulo:

Esse triangulo é chamado de triângulo das potências e ajuda muito, pois sabendo as relações trigonométricas básicas chegamos à resposta sem precisar decorar fórmulas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.438, Problema 11.38

Para o sistema de potência da figura abaixo, determine:

  1. A potência média
  2. A potência reativa
  3. O fator de potência

Note que 220 V é um valor RMS.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular a potência média, precisamos lembrar da fórmula:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ

Já foi fornecido o valor da tensão. Precisamos, então, calcular o valor da corrente que passa no circuito e o ângulo do fator de potência.

Passo 2

Para calcular a corrente que passa pelo circuito, vamos utilizar a Lei de Ohm:

V = Z × I

No caso do circuito acima, como todas as impedâncias estão em paralelo, a tensão será:

V R M S = 220   V