Análise de malhas

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Teoria

Fala aí, você caiu no Responde Aí! E agora vamos falar tudo sobre Análise de malhas

O básico sobre análise de malhas

A análise de malhas consiste em utilizar as Lei de Kirchhoff sobre uma malha para de encontrar as correntes desconhecidas de um circuito.

Mas é importante a gente ter dois conceitos bem definidos: o conceito de circuito planar e o conceito de malha

Circuito planar

Um circuito planar, é basicamente todo circuito que consegue ser representado sem que haja cruzamento de linhas.

Exemplo de circuito planar
Exemplo de circuito planar

Porém tenha cuidado! As vezes um circuito pode parecer que tem linhas se cruzando, mas com um pouco de redesenho, percebemos que o circuito é planar:

Circuito que parece “não-planar” mas o redesenho mostra que ele
Circuito que parece “não-planar” mas o redesenho mostra que ele

Malha

Malha é um laço no circuito, o qual não contém outro laço interno. Doido né? Calma, é simples. Olha o circuito abaixo, tem duas malhas.

Exemplo de malhas
Exemplo de malhas

Na figura acima, por exemplo, os caminhos e são malhas, mas o caminho não é uma malha.

Ou seja, malhas são caminhos que começam e terminam no mesmo ponto, porém nesse caminho não pode existir uma rota alternativa.

Análise de malhas

Agora sim vamos falar da análise de malhas. Mas pra isso existem dois casos particulares: o primeiro caso é a análise de malhas SEM fonte de corrente e o segundo caso é a análise de malhas COM fonte de corrente

Malha SEM fonte de corrente

O primeiro caso que vamos estudar é quando não temos fonte de corrente na nossa malha. Para resolver questões assim seguimos os seguintes passos:

  1. Atribuir correntes de malha , , ,
  2. Aplicar a Lei de Kirchhoff para Tensões em cada malha, para obter um sistema de equações
  3. Resolver o sistema de equações

Exemplo Calcule as correntes sobre as malhas

Circuito SEM fonte de corrente
Circuito SEM fonte de corrente

Passo 1: Primeiro a gente define as correntes de cada malha e

Definindo as correntes
Definindo as correntes

Passo 2: E agora vamos aplicar a Lei de Kirchhoff para Tensões, e montamos um sistema de equações:

Passo 3: Agora é só matemática! Vamos resolver as equações!

Primeiro vamos simplificar as equações:

Podemos dividir a primeira equação por e a segunda equação por :

E somando as duas equações vamos ter que:

Logo:

Malha COM fonte de corrente

Agora, quando temos uma fonte de corrente a resolução fica ainda mais fácil!

Caso 1: Quando a fonte de corrente está em um ramo do circuito, o processo de resolução é igual ao anterior. Porém fica mais fácil, pois a corrente de malha é igual a corrente da fonte

Exemplo de fonte de corrente em um ramo do circuito
Exemplo de fonte de corrente em um ramo do circuito

No casos como esse da imagem podemos afirmar sem sombra de dúvida que:

E pra definir a corrente é só fazer o passo a passo anterior.

Caso 2: Quando temos uma fonte de corrente entre duas malhas a melhor forma é a gente trabalhar com a supermalha!

Exemplo de fonte de corrente entre duas malhas
Exemplo de fonte de corrente entre duas malhas

Uma supermalha é apenas o caminho que não passa pela fonte de corrente. Ou seja, é como se a gente ignorasse o caminho da fonte de corrente.

Pra resolver a gente faz o seguinte:

  1. Primeiro a gente cria uma supermalha ignorando o caminho da fonte de corrente.
  2. Depois aplicamos a Lei de Kirchhoff para Nós no caminho que foi ignorado no passo anterior

Exemplo: Calcule as correntes de malha

Exemplo de fonte de corrente entre duas malhas
Exemplo de fonte de corrente entre duas malhas

Passo 1: Vamos fingir que o caminho da fonte de corrente não existe e gerar uma equação:

Exemplo de
Exemplo de

Passo 2: Agora vamos usar a Lei dos Nós no caminho da fonte de corrente para encontrar uma segunda equação:

Nó escolhido
Nó escolhido

Observando o nó vemos que:

Passo 3: Pronto! Agora temos duas equações, vamos montar e resolver o sistema:

ó

Aplicando a segunda equação na primeira temos:

Logo:

Videoaula

E pra ficar ainda mais ligado, da uma olhada nessa videoaula

E agora dá uma conferida nos exercícios pra praticar 👇

Análise de malhas

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine i 1 , i 2 e i 3 no circuito da figura abaixo:

Passo 1

Primeira coisa a se fazer é LTK em cada malha, formando, assim, 3 equações:

30 i 1 + 10 i 1 - i 2 + 120 = 0     30 i 2 + 10 i 2 - i 1 + 10 i 2 - i 3 = 0   30 i 3 - 120 + 10 i 3 - i 2 = 0

Simplificando:

40 i 1 - 10 i 2 = - 120       ( i ) - 10 i 1 + 50 i 2 - 10 i 3 = 0       ( i i ) - 10 i 2 + 40 i 3 = 120         ( i i i )

Passo 2

Isolando i 1 e i 3 das equações ( i ) e ( i i i ) :

i 1 = - 120 + 10 i 2   40           ( i v )

i 3 = 120 + 10 i 2 40           ( v )

Passo 3

Substituindo as equações do passo anterior em ( i i ) :

- 10 - 120 + 10 i 2 40 + 50 i 2 - 10 120 + 10 i 2 40 = 0

1200 - 100 i 2 40 + 50 i 2 + - 1200 - 100 i 2 40 = 0

1200 - 100 i 2 + 2000 i 2 - 1200 - 100 i 2 = 0

1800 i 2 = 0

i 2 = 0 A

Passo 4

Substituindo o valor encontrado de i 2 nas equações ( i v ) e ( v ) :

i 1 = - 120 + 10 ( 0 ) 40 = - 120 40 = - 3 A        

i 3 = 120 + 10 ( 0 ) 40 = 120 40 = 3 A

Resposta

Portanto,

i 1 = - 3 A

i 2 = 0 A

i 3 = 3 A

Exercício Resolvido #2

Usando a análise de malhas, calcule i 1 e i 2 no circuito abaixo, se:

R 1 = 2 Ω   ,   R 2 = 4 Ω   ,   R 3 = 3 Ω ,   V g 1 = 9 V   e   V g 2 = - 5 V  

Passo 1

Vamos começar fazendo um LKT na malha 1 e 2 para achar i 1 e i 2 :

LKT na malha 1:

2 i 1 + 3 i 1 -   i 2 = 9  

5 i 1 - 3 i 2 =       9    

LKC na malha 2:

4 i 2 +   3 ( i 2   -   i 1 )   = 5  

-   3 i 1 + 7 i 2     =   5  

Passo 2

Como nós temos duas equações e duas incógnitas, podemos fazer um sistema e achar nossos resultados:

5 i 1 - 3 i 2 = 9 -   3 i 1 + 7 i 2 = 5

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 5 ,

15 i 1 - 9 i 2 = 27 -   15 i 1 + 35 i 2 = 25

Somando as duas, chegamos em

26 i 2 = 52

i 2 = 2   A

Substituindo em qualquer uma das equações a gente acha o i 1 :

5 i 1 - 3 2 = 9

i 1 = 15 5 = 3   A

Resposta

i 1 = 3   A

i 2 = 2   A

Exercício Resolvido #3

Use a análise de malhas para determinar i 1 , i 2 e i 3 no circuito da figura abaixo.

Passo 1

Vamos escolher os sentidos das correntes de malha:

Passo 2

Agora vamos montar as equações de malha segundo a LTK:

- 12 + 6 I 1 - I 2 + 4 I 1 = 0 10 + 6 I 2 - I 1 + 2 I 2 = 0

10 I 1 - 6 I 2 = 12 - 6 I 1 + 8 I 2 = - 10

Resolvendo por adição, vamos multiplicar a segunda linha por 5 e a primeira por 3 :

30 I 1 - 18 I 2 = 36 - 30 I 1 + 40 I 2 = - 50

22 I 2 = - 14

I 2 = - 0,636   A

Passo 3

Substituindo o valor de I 2 na primeira equação:

10 I 1 - 6 I 2 = 12

10 I 1 - 6 ( - 0,636 ) = 12

10 I 1 + 3,816 = 12

Isolando I 1 :

10 I 1 = 12 - 3,816

10 I 1 = 8,184

I 1 = 0,8184   A

Passo 4

Como:

i 1 = - I 1 = - 0,8184   A

i 2 =   I 1 - I 2 = 1,4544   A

i 3 = I 2 = - 0,636   A

Resposta

i 1 = - 0,8184   A

i 2 = 1,4544   A

i 3 = - 0,636   A

Exercício Resolvido #4

Usando a abordagem geral para o método das malhas, determine a corrente através de cada resistor da figura:

Passo 1

Primeiro devemos desenhar o sentido das correntes em cada malha e nomear cada uma delas

Passo 2

Agora vamos marcar as polaridades das quedas de tensão produzidas em cada resistor pelas correntes que atravessam eles:

Passo 3

Pela LKT, podemos escrever a malha 1 como:

9 -   V R 2 -   V R 1 = 0

9 - 8,2 k * I 1 -   I 2 - 1,2 k * I 1 = 0

Pela LKT, podemos escrever a malha 2 como:

6 - V R 3 -   V R 2 -   V R 4 = 0

6 - 9,1 k *   I 2   - 8,2 k * I 2 -   I 1 - 1,1 k *   I 2 = 0

Passo 4

Pela equação 1, podemos definir que:

I 1 = 9 + 8,2 k * I 2 9,4 k

Substituindo na segunda equação:

6 - 9,1 k *   I 2   - 8,2 k * I 2 -   9 + 8,2 k * I 2 9,4 k - 1,1 k *   I 2 = 0

Achamos que I 2 = 1,23 m A . Assim, I 1 = 2,03 m A .

Passo 5

Percebemos que a corrente que passa pelo resistor R 2   é a diferença entre as correntes I 1   e I 2 . Assim o sentido será definido pela maior corrente, nesse caso o sentido é o da corrente I 1   e o seu valor é:

I 1   -   I 2   = 2,03 m A - 1,23 m A = 0,8 m A

Resposta

I R 1 = 2,03 m A

I R 2 = 0,8 m A

I R 3 = 1,2 3 m A

I R 4 = 1,2 3 m A

Exercício Resolvido #5

Determine as correntes de malha i 1 , i 2 e i 3 no circuito da figura abaixo:

Passo 1

Montar as equações de malha, segundo a LKT

- 12 + 1000 i 1 + 1000 i 1 - i 2 + 10 = 0 - 10 + 1000 i 2 - i 1 + 1000 i 2 + 1 i 2 - i 3 = 0 - 12 + 1 i 3 - i 2 + 1000 i 3 = 0

Simplificando as equações:

2000 i 1 - 1000 i 2 = 2       ( i ) - 1000 i 1 + 2001 i 2 - i 3 = 10         ( i i ) - i 2 + 1001 i 3 = 12       ( i i i )

Passo 2

Isolando i 1 e i 3 das equações ( i ) e ( i i i ) :

i 1 = 2 + 1000 i 2 2000

i 3 = 12 + i 2 1001

Passo 3

Substituindo as equações acima na equação ( i i ) :

- 1000 2 + 1000 i 2 2000 + 2001 i 2 - 12 + i 2 1001 = 10

- 2 - 1000 i 2 2 + 2001 i 2 + - 12 - i 2 1001 = 10  

- 2002 - 1001000 i 2 + 4006002 i 2 - 24 - 2 i 2 = 20020

3005000 i 2 = 22046  

i 2 = 0,00734   A = 7,34 m A

Passo 4

Substituindo o valor encontrado acima nas equações isoladas de i 1 e i 3 :

i 1 = 2 + 1000 0,00734 2000 = 0,00467   A = 4,67 m A

i 3 = 12 + 0,00734 1001 = 0,012   A = 12 m A

Resposta

i 1 = 4,67 m A

i 2 = 7,34 m A

i 3 = 12 m A

Exercício Resolvido #6

Calcule as correntes de malha i 1 e i 2 na figura abaixo:

Passo 1

Vamos analisar a primeira malha:

Temos que escrever as polaridades das quedas de tensão nos resistores, lembrando que como no resistor de 8Ω nós temos duas correntes passando por ele ( i 1   e   i 2 ) , temos que considerar essas duas quedas na equação da primeira malha:

Logo, podemos escrever a equação da malha como:

- 12 + 3   i 1 + 8   i 1 - 8 i 2 = 0

Passo 2

Analisando a segunda malha:

Temos que escrever as polaridades das quedas de tensão nos resistores, lembrando que como no resistor de 8Ω nós temos duas correntes passando por ele ( i 1   e   i 2 ) , temos que considerar essas duas quedas na equação da segunda malha:

Logo, podemos escrever a equação da malha como:

8 i 2 - 8 i 1 + 6 i 2 + 2 v 0 = 0

Passo 3

Reunindo as equações de malha segundo a LTK, temos:

- 12 + 3 i 1 + 8 i 1 - i 2 = 0 8 i 2 - i 1 + 6 i 2 + 2 v 0 = 0

Como:

v 0 = 3 i 1

Substituindo:

11 i 1 - 8 i 2 = 12 - 2 i 1 + 14 i 2 = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver esse sistema. Vamos fazer assim:

Primeiro, vamos isolar i 2 na segunda equação:

i 2 = i 1 7

Substituindo na primeira:

11 i 1 - 8 i 1 7 = 12

i 1 = 1,22   A

Portanto, temos que:

i 2 = 1,22 7 = 0,17   A

Resposta

i 1 = 1,22   A

i 2 = 0,17   A

Exercício Resolvido #7

Usando a abordagem da supermalha, calcule a corrente através de cada elemento do circuito:

Passo 1

Vamos definir as correntes que percorrem as malhas:

Passo 2

Agora vamos marcar as polaridades das quedas de tensão nos resistores.

Passo 3

Podemos verificar através das fontes de corrente que:

I 2 = 8 A

I 3 -   I 1 = 3 A

Vamos escrever a equação das malhas para a malha que só possui resistores e nenhuma fonte de corrente:

20 -   V 4 - V 6 -   V 8 -   V 1 = 0

20 - 4 *   I 1 - 6 * I 1 -   I 2 - 8 * I 3 - I 2 - 1 * I 3 = 0

Passo 4

Vamos substituir a corrente I 2 por 8A e I 3 = 3 + I 1 :

20 - 4 *   I 1 - 6 * I 1 -   8 - 8 * 3 + I 1 - 8 - 1 * ( I 1 + 3 ) = 0

Assim, encontramos que:

I 1 = 5,53 A

Então:

I 3 = 8,53 A

Resposta

As correntes são:

I R 1 =   8,53 A

I R 4 =   5 , 53 A

I R 6 =   8 - 5,53 = 2,47 A

I R 8 =   8,53 - 8 = 0,53 A

Exercício Resolvido #8

Use análise de malhas para determinar i o no circuito da figura abaixo

Considerando a malha que contém a fonte de 90 V como a malha 1, a malha abaixo como a malha 2 e a malha da fonte de 180 V como a malha 3. As correntes i 1 ,   i 2 e i 3 , são pertencentes respectivamente as malhas 1, 2 e 3.

Passo 1

Identificando as malhas:

Atribuir sentido às correntes de malha:

Se você analisar o circuito, vai perceber que entre as malhas 2 e 3 existe uma supermalha:

Passo 2

Depois de analisar o circuito, vamos equacioná-lo, utilizando a LTK e levando em consideração a supermalha:

- 90 + 2 i 1 + 1 i 1 - i 2 + 4 i 1 - i 3 = 0                       r e f e r e n t e   à   m a l h a   1 1 i 2 - i 1 + 5 i 2 - 180 + 4 i 3 - i 1 = 0               r e f e r e n t e   à   s u p e r m a l h a

Simplificando:

7 i 1 - i 2 - 4 i 3 = 90 - 5 i 1 + 6 i 2 + 4 i 3 = 180

Se você perceber, há duas equações e 3 incógnitas. Por isso precisamos aplicar a LCK no nó da supermalha. Fica tranquilo, vamos ver isso no passo seguinte :)

Passo 3

Analisando o nó da supermalha e aplicando LCK:

i 2 = i 3 + 45

Com esta equação, podemos resolver o sistema agora:

7 i 1 - i 2 - 4 i 3 = 90         ( i ) - 5 i 1 + 6 i 2 + 4 i 3 = 180         ( i i ) i 2 = i 3 + 45         ( i i i )

Passo 4

Substituindo a equação ( i i i ) em ( i ) e i i :

7 i 1 - 5 i 3 = 135           ( i v ) - 5 i 1 + 10 i 3 = - 90       ( v )

Resolvendo o sistema:

14 i 1 - 10 i 3 = 270 - 5 i 1 + 10 i 3 = - 90

Somando as duas equações, fica somente:

9 i 1 = 180

i 1 = 20   A

Passo 5

Se analisarmos o circuito novamente, veremos que:

i 0 = i 1 - i 2

Substituindo o valor de i 1 na equação v :

- 5 ( 20 ) + 10 i 3 = - 90

10 i 3 =   - 90 + 100

i 3 = 1   A

De acordo com a equação ( i i i ) :

i 2 = 1 + 45

i 2 = 46   A  

Passo 6

Finalmente,

i 0 = i 1 - i 2

i 0 = 20 - 46

i 0 =   - 26   A  

Resposta

i 0 = - 26   A

Exercício Resolvido #9

Use a análise de malhas para determinar i 1 , i 2 e i 3 no circuito da figura abaixo:

Passo 1

Vamos lá! A malha 2 e a malha 3, onde se encontram as correntes i 2 e i 3 , é considerada uma SUPERMALHA.

Portanto as equações segundo LTK são:

- 12 + 2 ( i 1 - i 2 ) + 4 ( i 1 - i 3 ) = 0                     8 i 2 + 2 v 0 + 4 ( i 3 - i 1 ) + 2 ( i 2 - i 1 ) = 0

Passo 2

Aplicando a lei de Ohm no resistor de 2 Ω :

v 0 = 2 ( i 1 - i 2 )

Substituindo no sistema e simplificando:

6 i 1 - 2 i 2 - 4 i 3 = 12 - 2 i 1 + 6 i 2 + 4 i 3 = 0

Passo 3

Até o momento, temos duas equações e três incógnitas. Precisamos encontrar mais uma equação que relacione as correntes de malha. Para isso, vamos escolher o nó onde aplicaremos a LCK:

Aplicando a LCK no nó 0 :

i 2 + 3 = i 3

Pronto, agora temos três equações e três incógnitas:

6 i 1 - 2 i 2 - 4 i 3 = 12 - 2 i 1 + 6 i 2 + 4 i 3 = 0 i 2 - i 3 = - 3

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema aí de cima! Isolando i 2 na terceira equação:

i 2 = - 3 + i 3

Substituindo a relação acima na primeira e na segunda equação:

6 i 1 - 2 ( - 3 + i 3 ) - 4 i 3 = 12 - 2 i 1 + 6 ( - 3 + i 3 ) + 4 i 3 = 0

Simplificando:

2 i 1 - 2 i 3 = 2 - 2 i 1 + 10 i 3 = 18

Somando as duas equações:

8 i 3 = 20

i 3 = 2,5   A

Logo:

2 i 1 - 2 2,5 = 2

i 1 = 3,5   A

Finalmente:

i 2 + 3 = 2,5

i 2 = - 0,5   A