Análise de Malha

Teoria Completa

Fala galera, belezinha? Hoje vamos nos aprofundar um pouco mais e estudaremos sobre análise de corrente em malhas. Vamos lá?

Definições básicas

Assim como a gente viu que a análise nodal aplica a LKC para encontrar as tensões desconhecidas, para a análise de malha vamos aplicar a LKT para encontrar as correntes desconhecidas do circuito.

Para resolver um circuito utilizando esse método, precisamos saber algumas definições básicas:

  • O que é um circuito planar?
  • Um circuito planar, é basicamente todo circuito que consegue ser representado em uma folha, sem que haja cruzamento de linhas. É possível que tenha linhas cruzadas e seja planar, basta redesenhá-lo. A figura abaixo, por exemplo, tem ramo se cruzando, porém quando é redesenhado fica planar.

  • Malha
  • Malha é um laço no circuito, o qual não contém outro laço interno. Doido né? Calma, é simples. Olha o circuito abaixo, tem duas malhas.

    Na figura acima, por exemplo, os caminhos abefa e bcdeb são malhas, mas o caminho abcdefa não é uma malha. Ou seja, malha são caminhos que começam e terminam no mesmo ponto, porém nesse caminho não pode existir uma rota alternativa.

    Sabendo essas definições, vamos começar!

    Malha SEM fonte de corrente

    Vamos ver esse exemplo para entender como devemos fazer os passos:

  1. Atribua correntes de malha como i 1 ,   i 2 ...   i n para as n malhas que houver no circuito.
  2. Portanto o primeiro passo é adotar os sentidos das correntes de malha (isso mesmo, VOCÊ adota o sentido que quiser), como na figura abaixo foi feito com i 1 e i 2 .

  3. Aplique a LKT para cada malha, em que estaremos interessados em analisar as tensões em cada elemento:
  4. - 15 + 5 i 1 + 10 i 1 - i 2 + 10 = 0                   m a l h a   1 6 i 2 + 4 i 2 - 10 + 10 ( i 2 - i 1 ) = 0                         m a l h a   2  

    Note que a corrente que passa no resistor de 10Ω é a diferença entre a corrente da malha que estamos analisando, menos a corrente da malha vizinha, porque elas estão em sentidos opostos. Caso estivessem no mesmo sentido, elas se somariam.

  5. Resolva as n equações com as n variáveis para obter as correntes de malha.

15 i 1 - 10 i 2 = 5     - 10 i 1 + 20 i 2 = 10  

Simplificando as equações:

3 i 1 - 2 i 2 = 1     - i 1 + 2 i 2 = 1  

Somando as equações:

2 i 1 = 2

i 1 = 1   A

Portanto:

i 2 = 1   A

Prontinho! É só seguir os passos que não tem erro ;)

Malha COM fonte de corrente

Agora, vocês acham que com fonte de corrente fica mais fácil ou mais difícil a resolução?

Mais fácil! O fato de saber exatamente a corrente que sai da fonte de corrente reduz o número de equações.

O método de resolução é simples, são dois casos:

  • Caso 1: Quando temos uma fonte de corrente em um ramo do circuito, tratamos o circuito de maneira igual ao método sem fonte. Formula-se as equações e encontra as correntes.
  • - 10 + 4 i 1 + 6 i 1 - i 2 = 0 i 2 = - 5

    Substituindo o valor de i 2 na equação da malha 1, teremos:

    10 i 1 - 6 i 2 = 10

    10 i 1 = 10 + 6 ( - 5 )

    i 1 = - 2 A

  • Caso 2: Quando temos uma fonte de corrente entre duas malhas, a chamamos de SUPERMALHA. Não, não é uma malha com superpoderes, mas sim uma malha que, quando utilizada corretamente, é PODEROSA.
  • Simplificando fica assim

    Agora será feito o equacionamento de uma só malha, porém sem esquecer de que cada componente leva em consideração a corrente que passa por ele:

    - 20 + 6 i 1 + 10 i 2 + 4 i 2 = 0         ( 1 )

    O próximo passo é encontrar outra equação, que obteremos a partir do ramo central que foi excluído.

    Nó 0

    Como o ramo tem duas correntes e uma fonte de corrente, aplica-se LCK no nó 0:

    i 2 = i 1 + 6           ( 2 )

    Agora, é só resolver o sistema:

    6 i 1 + 14 i 2 = 20 i 2 = i 1 + 6                  

    Substituindo a segunda equação na primeira:

    6 i 1 + 14 ( i 1 + 6 ) = 20

    20 i 1 = - 64

    i 1 = - 3,2 A

    Substituindo o valor encontrado acima na segunda equação:

    i 2 = - 3,2 + 6

    i 2 = 2,8 A

    Análise nodal X Análise de Malhas

    Agora que a gente já viu os dois métodos, você pode estar se perguntando em qual caso é melhor ou mais eficiente usar um método ou o outro?

    Basicamente tem dois fatores que definem qual método utilizar:

    1. A natureza do circuito:
    2. Também é importante analisar a quantidade de nós e malhas presentes no circuito:

      Se possuir menos nós que malhas, fica mais fácil usar análise nodal.

      Da mesma forma, se possuir menos malhas que nós, análise de malhas será melhor.

      Desta forma teremos um menor número de equações e ficará mais fácil de resolver. Vale ressaltar que, de forma geral, teremos menos nós de malhas, de forma que análise nodal normalmente é mais simples.

    3. O que se deseja:

    Se precisamos encontrar as tensões nodais, pode ser que a análise nodal seja mais interessante. Por outro lado, se o que se pede no exercício são as correntes de um ramo ou de uma malha, geralmente é mais fácil utilizar a análise de malha.

    Agora é fazer bastante exercício para fixar!

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Livro Sadiku, p.107, Exercício 3.58

    Determine i 1 , i 2 e i 3 no circuito da figura abaixo:

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Primeira coisa a se fazer é LTK em cada malha, formando, assim, 3 equações:

    30 i 1 + 10 i 1 - i 2 + 120 = 0     30 i 2 + 10 i 2 - i 1 + 10 i 2 - i 3 = 0   30 i 3 - 120 + 10 i 3 - i 2 = 0

    Simplificando:

    40 i 1 - 10 i 2 = - 120       ( i ) - 10 i 1 + 50 i 2 - 10 i 3 = 0       ( i i ) - 10 i 2 + 40 i 3 = 120         ( i i i )

    Passo 2

    Isolando i 1 e i 3 das equações ( i ) e ( i i i ) :

    i 1 = - 120 + 10 i 2   40           ( i v )

    i 3 = 120 + 10 i 2 40           ( v )

    Passo 3

    Substituindo as equações do passo anterior em ( i i ) :

    - 10 - 120 + 10 i 2 40 + 50 i 2 - 10 120 + 10 i 2 40 = 0

    1200 - 100 i 2 40 + 50 i 2 + - 1200 - 100 i 2 40 = 0

    1200 - 100 i 2 + 2000 i 2 - 1200 - 100 i 2 = 0

    1800 i 2 = 0

    i 2 = 0 A

    Passo 4

    Substituindo o valor encontrado de i 2 nas equações ( i v ) e ( v ) :

    i 1 = - 120 + 10 ( 0 ) 40 = - 120 40 = - 3 A        

    i 3 = 120 + 10 ( 0 ) 40 = 120 40 = 3 A

    Resposta

    Portanto,

    i 1 = - 3 A

    i 2 = 0 A

    i 3 = 3 A

    Exercício Resolvido #2

    Usando a análise de malhas, calcule i 1 e i 2 no circuito abaixo, se:

    R 1 = 2 Ω   ,   R 2 = 4 Ω   ,   R 3 = 3 Ω ,   V g 1 = 9 V   e   V g 2 = - 5 V  

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Vamos começar fazendo um LKT na malha 1 e 2 para achar i 1 e i 2 :

    LKT na malha 1:

    2 i 1 + 3 i 1 -   i 2 = 9  

    5 i 1 - 3 i 2 =       9    

    LKC na malha 2:

    4 i 2 +   3 ( i 2   -   i 1 )   = 5  

    -   3 i 1 + 7 i 2     =   5  

    Passo 2

    Como nós temos duas equações e duas incógnitas, podemos fazer um sistema e achar nossos resultados:

    5 i 1 - 3 i 2 = 9 -   3 i 1 + 7 i 2 = 5

    Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 5 ,

    15 i 1 - 9 i 2 = 27 -   15 i 1 + 35 i 2 = 25

    Somando as duas, chegamos em

    26 i 2 = 52

    i 2 = 2   A

    Substituindo em qualquer uma das equações a gente acha o i 1 :

    5 i 1 - 3 2 = 9

    i 1 = 15 5 = 3   A

    Resposta

    i 1 = 3   A

    i 2 = 2   A

    Exercício Resolvido #3

    Livro Sadiku, p.105, Exercício 3.36

    Use a análise de malhas para determinar i 1 , i 2 e i 3 no circuito da figura abaixo.

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Vamos escolher os sentidos das correntes de malha:

    Passo 2

    Agora vamos montar as equações de malha segundo a LTK:

    12 + 6 I 1 + I 2 + 4 I 1 = 0 10 + 6 I 2 + I 1 + 2 I 2 = 0

    10 I 1 + 6 I 2 = - 12 6 I 1 + 8 I 2 = - 10

    Passo 3

    Precisamos resolver esse sistema. Vamos fazer assim:

    Primeiro, vamos isolar I 2 na segunda equação:

    I 2 = - 10 - 6 I 1 8

    Substituindo na primeira:

    10 I 1 + 6 - 10 - 6 I 1 8 = - 12

    Simplificando:

    44 I 1 = - 36