Análise Nodal

Teoria Completa

Supondo que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular a tensão v 0 , como resolveríamos?

É possível que dê pra resolver com o que sabemos até agora, mas vai ser muito trabalhoso e podemos acabar nos perdendo na resolução sem um método específico, concorda? É por isso que utilizamos a análise nodal e a análise de malhas. Com o que aprendemos sobre as Leis de Ohm e as Leis de Kirchhoff, estamos preparados para aprender esses dois métodos. Neste tópico estudaremos sobre análise nodal.

Definições básicas

Para resolver um circuito utilizando análise nodal, precisa estar no sangue a lei de Kirchhoff das correntes (LKC). Vamos ter que aplicá-la várias vezes. Mas relaxa, vamos começar devagar e primeiro consideraremos os circuitos sem fonte de tensão.

Análise nodal SEM fonte de tensão

Vamos supor que a gente tenha o seguinte circuito e nossa missão seja encontrar as tensões de cada nó. Para isso, vamos seguir alguns passos:

  1. Identificamos os nós, na figura anterior já marcamos o nó 1, o nó 2 e um nó de terra (aqueles 3 tracinhos ali embaixo). O nó de terra é escolhido em um ponto onde reunimos muitos elementos do circuito e ele tem potencial igual a 0V.
  2. Em seguida nomeamos tensões para os nós restantes ( v 1 , v 2 , 0V):
  3. Escolhemos o sentido das correntes ( i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 ):
  4. Mas como escolher o sentido das correntes? Calma, quando tiver uma fonte de corrente, vamos respeitar o sentido dela. Mas quando tiver só um resistor, podemos escolher o sentido que quisermos, se o sentido não for o real da corrente, o valor será negativo. Fica tranquilo.

  5. Agora, vamos aplicar a LKC em cada um dos nós (excluindo o terra):
  6. No nó 1:

    i 1 =   i 2 +   i 3

    i 2 +   i 3 = 5

    No nó 2:

    i 1 +   i 5 =   i 2 +   i 4

    5 +   i 5 =   i 2 +   10

    Assim:

    i 2 + i 3 = 5 10 + i 2 = 5 + i 5

  7. Utilizamos a lei de Ohm para escrever a corrente em função da tensão de cada nó, ou seja, a corrente sempre flui do maior potencial para o menor potencial. Logo seu valor pode ser escrito como:
  8. i =   v s a í d a -   v e n t r a d a r e s i s t ê n c i a

    i 3 = v 1 - 0 2

    i 2 = v 1 - v 2 4

    i 5 = v 2 - 0 6

  9. Por fim, a gente substitui as correntes nas duas primeiras equações, para encontrarmos as tensões nodais dos nós 1 e 2.

i 2 + i 3 = 5 10 + i 2 = 5 + i 5

v 1 - v 2 4 + v 1 - 0 2 = 5 10 + v 1 - v 2 4 = 5 + v 2 - 0 6

Simplificando:

3 v 1 - v 2 = 20 - 3 v 1 + 5 v 2 = 60

v 1 = 13,33   V

v 2 = 20   V

Missão cumprida!

Então, relembrando, temos basicamente 4 passos para análise nodal em circuitos:

  1. Escolher um nó como referência (terra).
  2. Em seguida nomear tensões para os nós restantes.
  3. Escolher o sentido das correntes.
  4. Aplicar a LKC em cada um dos nós (excluindo o nó de referência).
  5. Utilizar a lei de Ohm para escrever a corrente em função da tensão do nó.
  6. Resolver as equações que resultaram, para obter as tensões nodais desconhecidas.

Análise nodal COM fonte de tensão

Bom, agora veremos como as fontes de tensão afetam um circuito.

Existem dois casos para esse tipo de circuito, ou seja, duas posições que a fonte de tensão pode estar localizada:

  • Caso 1: Quando a fonte de tensão está conectada entre um nó e o terra, fazendo com que a tensão do nó seja igual à tensão da fonte.
  • Ou seja, no circuito acima a fonte de 60 V está entre o nó 1 e o terra, fazendo com que V 0 = 60   V .

  • Caso 2: Quando a fonte de tensão está conectada entre dois nós, sendo que nenhum deles é de referência (terra), isso forma o chamado SUPERNÓ.

O que o supenó nos informa? Que v 2 -   v 3 = 5 V . Como sabemos quem deve ser diminuído do outro para achar essa tensão?

Bem simples, o nó que está direcionado o pólo positivo da fonte de tensão tem maior potencial de tensão do que o nó que está conectado ao pólo negativo da fonte de tensão.

Como o pólo positivo está conectado no nó de tensão v 2 e o pólo negativo está conectado ao nó de tensão v 3 , devemos subtrair v 2 de v 3 para encontrar o valor da fonte de tensão entre esses dois nós.

Vamos fazer esse exemplo? Olha só o procedimento:

  1. Identificar os nós e super nós.
  2. Identificar as correntes que circulam pelos resistores do circuito:
  3. Percebemos que a tensão V 1   = 10 V , pois a fonte fica entre o nó 1 e o nó de referência sem nenhum resistor.
  4. Aplicando a LCK para o supernó do circuito acima, consideramos que tanto o nó 2 quanto o nó 3 são a mesma coisa.
  5. Quem entra no superno: nó 2 ( i 1 ) e no nó 3 ( i 3 ) .

    Quem sai do superno: nó 2 ( i 2 ) e no nó 3 ( i 4 ) .

    A soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem.

    i 1 + i 3 = i 2 + i 4

  6. Escrevendo as correntes em função das tensões nodais e substituindo na equação acima:
  7. v 1 - v 2 2 + v 1 - v 3 4 = v 2 - 0 8 + v 3 - 0 6

  8. Como já falamos, a informação que o supernó dá é sobre os nós 2 e 3:
  9. v 2 - v 3 = 5 V

    v 2 = 5 V + v 3

  10. Simplificando a equação:
  11. v 1 - v 2 2 + v 1 - v 3 4 = v 2 - 0 8 + v 3 - 0 6

    12 v 1 - v 2 + 6 v 1 - v 3 24 = 3 v 2 + 4 v 3 24

    12 v 1 - 12 v 2 + 6 v 1 - 6 v 3 = 3 v 2 + 4 v 3

    18 v 1 - 15 v 2 - 10 v 3 = 0

  12. Substituir as tensões ( v 1 = 10 V ) e v 2 = 5 V + v 3

18 * 10 - 15   5 + v 3 - 10 v 3 = 0

v 3 = 4,2 V

Substituindo em v 2 - v 3 = 5 V:

v 2 = 9,2 V

Vimos então que no caso do supernó temos um passo a mais que é escrever a tensão do supernó, que é a diferença de tensão entre os dois nós, ai teremos mais uma informação para substituir na LKC.

Agora é fazer bastante exercício para fixar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.100, Problema 3.3

Determine as correntes e a tensão v 0 .

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Passo 1

Nesse exercício, a tensão nodal e as correntes já foram nomeadas. Como os elementos de cada ramo estão ligados em paralelo, cada nó do circuito terá o mesmo potencial v 0 , já que toda parte inferior do circuito está ligada ao terra, e, portanto, o potencial é conhecido (0 volts).

Passo 2

Então a primeira coisa a ser feita, é aplicar a famosa LCK para os nós.

8 = I 1 + I 2 + I 3 + 20 + I 4

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = - 12

Passo 3

Agora vamos escrever as correntes em função da tensão nodal v 0 :

I 1 = v 0 - 0 10

I 2 = v 0 - 0 20

I 3 = v 0 - 0 30

I 4 = v 0 - 0 60

Passo 4

Substituindo as correntes na primeira equação, temos que:

v 0 10 + v 0 20 + v 0 30 + v 0 60 = - 12

Encontrando v 0 :

6 v 0 + 3 v 0 + 2 v 0 + v 0 = - 720

v 0 = - 60   V

Passo 5

Para terminar, vamos substituir o valor encontrado de v 0 nas equações das correntes:

I 1 = - 60 10 = - 6 A

I 2 = - 60 20 = - 3 A

I 3 = - 60 30 = - 2 A

I 4 = - 60 60 = - 1 A

Resposta

v 0 = - 60 V

I 1 = - 6 A

I 2 = - 3 A

I 3 = - 2 A

I 4 = - 1 A

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, 5ª edição, p.75, Problema prático 3.1

Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na Figura abaixo.

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Passo 1

A primeira coisa a ser feita nesse método é analisar quantos nós se tem no circuito. No circuito acima existem 3 nós, sendo que os nós 1 e 2 possuem tensões desconhecidas que o exercício pede para calcular. O terceiro nó está localizado junto à terra, e, portanto, o potencial é conhecido (0 volts).

Passo 2

Agora vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e nomear as tensões de cada nó para podermos aplicar a LKC.

Equações de corrente para o nós:

i 1 + i 3 = 3           ( n ó   1 ) i 2 + 12 = i 3       ( n ó   2 )

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

i 1 = v 1 - 0 2

i 2 = v 2 - 0 7

i 3 = v 1 - v 2 6

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

v 1 - 0 2 + v 1 - v 2 6 = 3     v 2 - 0 7 + 12 = v 1 - v 2 6

Simplificando:

4 v 1 - v 2 = 18               7 v 1 - 13 v 2 = 504

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Há vários jeitos de resolvê-lo, mas vamos fazer assim:

Passo 5

Primeiro vamos multiplicar a primeira equação por (-13) e o resultado somaremos com a segunda:

- 52 v 1 + 13 v 2 = - 234   7 v 1 - 13 v 2 = 504              

- 45 v 1 + 0 = 270

v 1 = - 6   V

Em seguida, substituiremos o valor encontrado de v 1 na segunda equação:

7 v 1 - 13 v 2 = 504

7 - 6 - 13 v 2 = 504

v 2 = - 42

Prontinho, só sucesso!

Resposta

v 1 = - 6   V

v 2 = - 42   V

Exercício Resolvido #3

Introdução à análise de circuitos – Robert L. Boylestad – Ed. 12 – Exercício 8.40 Adaptada

Escreva as equações nodais usando a abordagem geral para o circuito da figura e resolva:

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Passo 1

Primeiro, vamos identificar os nós e o terra:

Passo 2

Vamos identificar as correntes que entram e saem dos nós A e B:

Como vimos que as fontes de corrente estão direcionando as correntes I 1 e I 2 para entrar no nó de terra, vamos direcionar as correntes I 3 e I 4 saindo do nó de referência, pois como sabemos a soma das correntes que entram no nó deve ser igual a soma das correntes que saem do nó.

No caso da corrente I 5 , escolhemos a corrente no sentido que desejamos.

Passo 3

Através da LKC, as equações para cada nó são:

Nó A:

I 1 +   I 5 = I 3

Pela Lei de Ohm, sabemos que a corrente é igual a tensão em cima do resistor dividido pelo valor da resistência:

I =   V R

No caso da corrente saindo de um nó e entrando em outro, devemos colocar que a tensão é a diferença das tensões do nó de saída da corrente e a tensão do nó de entrada da corrente:

I 5 =   V a -   V b R 3

Logo, substituindo na equação I 1 +   I 5 = I 3 :

5 + V a -   V b R 3 = 0 - V a R 1

V a 2 + 5 + V a -   V b 8 = 0

Nó B:

I 4 +   I 5 = I 2

  0 - V b R 2 + V a -   V b R 3 = 3

- V b 4 + V a -   V b 8 - 3 = 0

Passo 4

Encontramos então o sistema:

V a 2 + 5 + V a -   V b 8 = 0

- V b 4 + V a -   V b 8 - 3 = 0

Subtraindo da primeira equação a segunda equação:

V a 2 + 8 + V b 4 = 0

Multiplicando tudo por 4:

2 V a + 32 +   V b = 0

V b = - 2 V a - 32

Passo 5

Substituindo na primeira equação:

V a 2 + 5 + V a -   V b 8 = 0

V a 2 + 5 + V a 8 - ( - 2 V a - 32 ) 8 = 0

Multiplicando tudo por 8:

4 V a + 40 + V a - ( - 2 V a - 32 ) = 0

7 V a + 72 = 0

7 V a = - 72

V a = - 10,29 V

Passo 6

Substituindo V a = - 10,29 V na seguinte equação:

V b = - 2 V a - 32

V b = - 2 ( - 10,29 ) - 32

V b = - 11,42 V

Ai já encontramos as tensões nodais que era desde o início o nosso objetivo!

Resposta

V a = - 10,29 V

V b = - 11,42 V

Exercício Resolvido #4

Livro Sadiku, 5ª edição, p.101, Problema 3.5

Obtenha v 0 no circuito a figura abaixo:

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Passo 1

Vamos com calma. No circuito acima, temos apenas dois nós:

Escolhendo o nó 2 como referência, fazemos com que a tensão no nó 1 seja o próprio potencial v 0 , já que o circuito é paralelo. Além disso, vamos escolher os sentidos das correntes:

Aplicando a LKC no nó 1:

i 3 = i 1 + i 2

Passo 2

Agora vamos escrever nossas correntes em função da tensão no nó:

- 2000 i 1 + 30 = v 0 - 5000 i 2 + 20 = v 0 4000 i 3 = v 0

Isolando as correntes:

i 1 = - ( v 0 - 30 ) 2000

i 2 = - ( v 0 - 20 ) 5000

i 3 =   v 0 4000

Passo 3

Substituindo as correntes:

v 0 4000 = - ( v 0 - 30 ) 2000   – ( v 0 - 20 ) 5000

Simplificando e isolando v 0 :

5 v 0 = - 10 v 0 + 300 - 4 v 0 + 80

19 v 0 = 380

v 0 = 20   V

Resposta

v 0 = 20   V

Exercício Resolvido #5

Livro Sadiku, p.101, Problema 3.10

Determine I 0 e as tensões nodais:

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Passo 1

Vamos começar! No circuito acima existem 4 nós.

Agora, vamos escolher o nó 4 como o terra, nomear as tensões de cada nó e desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito para podermos aplicar a LCK.

Passo 2

Equações de corrente para os nós:

I 0 + 4 = I 1 2 I 0 + I 3 = 4 I 1 + I 2 = 2 I 0

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

I 0 = v 1 8

I 1 = v 3 - v 1 1

I 2 = v 3 4

I 3 = v 2 2

Passo 4

Agora vamos substituir no sistema de 3 equações aquelas encontradas para cada corrente:

v 1 8 + 4 = v 3 - v 1 1 2 v 1 8 + v 2 2 = 4 v 3 - v 1 1 + v 3 4 = 2 v 1 8

Simplificando:

- 9 v 1 + 8 v 3 = 32 v 1 + 2 v 2 = 16 v 1 = v 3

Passo 5

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Primeiro vamos substituir v 3 por v 1 na primeira equação:

- 9 v 1 + 8 v 1 = 32

v 1 = - 32   V

Como, v 1 = v 3 :

v 3 = - 32   V

Substituindo o valor encontrado de v 1 na segunda equação:

- 32 + 2 v 2 = 16

v 2 = 24   V

Passo 6

Para terminar, falta encontrarmos o valor de I 0 :

I 0 = v 1 8 = - 32 8 = - 4 A

Resposta

I 0 = - 4 A

v 1 = - 32   V

v 2 = 24   V

v 3 = - 32   V

Exercício Resolvido #6

Livro Sadiku, 5ª edição, p.101, Problema 3.11

Determinar V 0

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Passo 1

Queremos encontrar a tensão nodal V 0 que se encontra no nó 1, pois já sabemos o potencial do nó 2, que é o terra (0 volts). Para isso, vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e aplicar a LCK.

Equação de corrente para o nó 1:

i 1 = i 0 + i 2

Passo 2

Agora vamos escrever nossas correntes em função da tensão nodal:

i 0 = V 0 12

i 1 = 60 - V 0 12

i 2 = V 0 - ( - 24 ) 6 = V 0 + 24 6

Se ficar na dúvida, é só aplicar a lei das tensões de Kirchhoff, por exemplo, na malha da direita:

V 0 - 6 i 2 + 24 = 0

i 2 = V 0 + 24 6

Passo 3

Substituindo na primeira equação:

60 - V 0 12 = V 0 12 + V 0 + 24 6

Simplificando:

60 - V 0 = V 0 + 2 V 0 + 48

4 V 0 = 12 V

V 0 = 3   V

Resposta

V 0 = 3   V

Exercício Resolvido #7

Livro Sadiku, 5ª edição, p.101, Problema 3.12

Determine V 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

No circuito abaixo, os nós 1 e 2 possuem tensões desconhecias, já que o terceiro está ligado ao terra.

Passo 2

Agora vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e nomear as tensões de cada nó para podermos aplicar a lei das correntes de Kirchhoff.

Além disso, a tensão nodal v 2 tem própria tensão que se pede no exercício.

Equações de corrente para o nós:

I x = i 1 + i 2 4 I x = i 1 + i 0

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às te