Análise Nodal

Resumo Completo

Supondo que a gente tenha o circuito abaixo e deseja-se calcular a tensão v 0 , como resolveríamos?

É possível que dê pra resolver com o que sabemos até agora, mas vai ser muito trabalhoso e podemos acabar nos perdendo na resolução sem um método específico, concorda? É por isso que utilizamos a análise nodal e a análise de malhas. Com o que aprendemos sobre as Leis de Ohm e as Leis de Kirchhoff, estamos preparados para aprender esses dois métodos. Neste tópico estudaremos sobre análise nodal.

Definições básicas

Para resolver um circuito utilizando análise nodal, precisa estar no sangue a lei de Kirchhoff das correntes (LKC). Vamos ter que aplicá-la várias vezes. Mas relaxa, vamos começar devagar e primeiro consideraremos os circuitos sem fonte de tensão.

Análise nodal SEM fonte de tensão

Vamos supor que a gente tenha o seguinte circuito e nossa missão seja encontrar as tensões de cada nó. Para isso, vamos seguir alguns passos:

  1. Escolhemos um nó como referência, ou seja, um nó precisa ser o terra, aquele com potencial nulo. Em seguida nomeamos tensões para os nós restantes e escolhemos o sentido das correntes, sempre adotando a convenção de que a corrente flui do potencial mais alto para o potencial mais baixo em um resistor ou em qualquer outro elemento passivo.

  1. Agora, vamos aplicar a LKC em cada um dos nós (excluindo o terra).
  2. i 2 + i 3 = 5 10 + i 2 = 5 + i 5

  3. Utilizamos a lei de Ohm para escrever a corrente em função da tensão de cada nó.
  4. i 3 = v 1 - 0 2

    i 2 = v 1 - v 2 4

    i 5 = v 2 - 0 6

  5. Por fim, a gente substitui as correntes nas duas primeiras equações, para encontrarmos as tensões nodais dos nós 1 e 2.

v 1 - v 2 4 + v 1 - 0 2 = 5 10 + v 1 - v 2 4 = 5 + v 2 - 0 6

Simplificando:

3 v 1 - v 2 = 20 - 3 v 1 + 5 v 2 = 60

v 1 = 13,33   V

v 2 = 20   V

Missão cumprida!

Então, relembrando, temos basicamente 4 passos para análise nodal em circuitos:

  1. Escolher um nó como referência (terra). Em seguida nomear tensões para os nós restantes e escolher o sentido das correntes.
  2. Aplicar a LKC em cada um dos nós (excluindo o nó de referência).
  3. Utilizar a lei de Ohm para escrever a corrente em função da tensão do nó.
  4. Resolver as equações que resultaram, para obter as tensões nodais desconhecidas.

Análise nodal COM fonte de tensão

Bom, agora veremos como as fontes de tensão afetam um circuito.

Existem dois casos para esse tipo de circuito, ou seja, duas posições que a fonte de tensão pode estar localizada:

  • Caso 1: Quando a fonte de tensão está conectada entre um nó e o terra, fazendo com que a tensão do nó seja igual à tensão da fonte.
  • Ou seja, no circuito acima a fonte de 60 V está entre o nó 1 e o terra, fazendo com que V 0 = 60   V .

  • Caso 2: Quando a fonte de tensão está conectada entre dois nós, sendo que nenhum deles é de referência (terra), isso forma o chamado SUPERNÓ.

Este caso nos dá um trabalhinho a mais, porque é necessário aplicar tanto a LCK, quanto a Lei de Kircchoff das Tensões (LKT) para determinar as tensões nodais. Olha só o procedimento:

Aplicando a LCK para o supernó do circuito acima:

i 1 + i 4 = i 2 + i 3

Escrevendo as correntes em função das tensões nodais e substituindo na equação acima:

v 1 - v 2 2 + v 1 - v 3 4 = v 2 - 0 8 + v 3 - 0 6

Agora, vamos aplicar a LTK para a tensão no supernó. Para isso, a gente redesenha o circuito e percorre o laço.

Aplicando a LTK:

- v 2 + 5 + v 3 = 0

v 2 - v 3 = 5

Pronto, com essas duas equações e sabendo que v 1 = 10   V (já que a fonte de tensão de 10V está entre o nó v 1 e o terra), conseguimos obter as tensões nodais.

Agora é fazer bastante exercício para fixar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Livro Sadiku, p.100, Problema 3.3

Determine as correntes e a tensão v 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nesse exercício, a tensão nodal e as correntes já foram nomeadas. Como os elementos de cada ramo estão ligados em paralelo, cada nó do circuito terá o mesmo potencial v 0 , já que toda parte inferior do circuito está ligada ao terra, e, portanto, o potencial é conhecido (0 volts).

Passo 2

Então a primeira coisa a ser feita, é aplicar a famosa LCK para os nós.

8 = I 1 + I 2 + I 3 + 20 + I 4

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = - 12

Passo 3

Agora vamos escrever as correntes em função da tensão nodal v 0 :

I 1 = v 0 - 0 10

I 2 = v 0 - 0 20

I 3 = v 0 - 0 30

I 4 = v 0 - 0 60

Passo 4

Substituindo as correntes na primeira equação, temos que:

v 0 10 + v 0 20 + v 0 30 + v 0 60 = - 12

Encontrando v 0 :

6 v 0 + 3 v 0 + 2 v 0 + v 0 = - 720

v 0 = - 60   V

Passo 5

Para terminar, vamos substituir o valor encontrado de v 0 nas equações das correntes:

I 1 = - 60 10 = - 6 A

I 2 = - 60 20 = - 3 A

I 3 = - 60 30 = - 2 A

I 4 = - 60 60 = - 1 A

Resposta

v 0 = - 60 V

I 1 = - 6 A

I 2 = - 3 A

I 3 = - 2 A

I 4 = - 1 A

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.75, Problema prático 3.1

Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na Figura abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A primeira coisa a ser feita nesse método é analisar quantos nós se tem no circuito. No circuito acima existem 3 nós, sendo que os nós 1 e 2 possuem tensões desconhecidas que o exercício pede para calcular. O terceiro nó está localizado junto à terra, e, portanto, o potencial é conhecido (0 volts).

Passo 2

Agora vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e nomear as tensões de cada nó para podermos aplicar a LKC.

Equações de corrente para o nós:

i 1 + i 3 = 3           ( n ó   1 ) i 2 + 12 = i 3       ( n ó   2 )

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

i 1 = v 1 - 0 2

i 2 = v 2 - 0 7

i 3 = v 1 - v 2 6

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

v 1 - 0 2 + v 1 - v 2 6 = 3     v 2 - 0 7 + 12 = v 1 - v 2 6

Simplificando:

4 v 1 - v 2 = 18               7 v 1 - 13 v 2 = 504

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Há vários jeitos de resolvê-lo, mas vamos fazer assim:

Passo 5

Primeiro vamos multiplicar a primeira equação por (-13) e o resultado somaremos com a segunda:

- 52 v 1 + 13 v 2 = - 234   7 v 1 - 13 v 2 = 504              

- 45 v 1 + 0 = 270

v 1 = - 6   V

Em seguida, substituiremos o valor encontrado de v 1 na segunda equação:

7 v 1 - 13 v 2 = 504

7 - 6 - 13 v 2 = 504

v 2 = - 42

Prontinho, só sucesso!

Resposta

v 1 = - 6   V

v 2 = - 42   V

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.101, Problema 3.5

Obtenha v 0 no circuito a figura abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos com calma. No circuito acima, temos apenas dois nós:

Escolhendo o nó 2 como referência, fazemos com que a tensão no nó 1 seja o próprio potencial v 0 , já que o circuito é paralelo. Além disso, vamos escolher os sentidos das correntes:

Aplicando a LKC no nó 1:

i 3 = i 1 + i 2

Passo 2

Agora vamos escrever nossas correntes em função da tensão no nó:

- 2000 i 1 + 30 = v 0 - 5000 i 2 + 20 = v 0 4000 i 3 = v 0

Isolando as correntes:

i 1 = - ( v 0 - 30 ) 2000

i 2 = - ( v 0 - 20 ) 5000

i 3 =   v 0 4000

Passo 3

Substituindo as correntes:

v 0 4000 = - ( v 0 - 30 ) 2000   ( v 0 - 20 ) 5000

Simplificando e isolando v 0 :

5 v 0 = - 10 v 0 + 300 - 4 v 0 + 80

19 v 0 = 380

v 0 = 20   V

Resposta

v 0 = 20   V

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Livro Sadiku, p.101, Problema 3.10

Determine I 0 e as tensões nodais:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar! No circuito acima existem 4 nós.

Agora, vamos escolher o nó 4 como o terra, nomear as tensões de cada nó e desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito para podermos aplicar a LCK.

Passo 2

Equações de corrente para os nós:

I 0 + 4 = I 1 2 I 0 + I 3 = 4 I 1 + I 2 = 2 I 0

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões em cada resistor:

I 0 = v 1 8

I 1 = v 3 - v 1 1

I 2 = v 3 4

I 3 = v 2 2

Passo 4

Agora vamos substituir no sistema de 3 equações aquelas encontradas para cada corrente:

v 1 8 + 4 = v 3 - v 1 1 2 v 1 8 + v 2 2 = 4 v 3 - v 1 1 + v 3 4 = 2 v 1 8

Simplificando:

- 9 v 1 + 8 v 3 = 32 v 1 + 2 v 2 = 16 v 1 = v 3

Passo 5

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Primeiro vamos substituir v 3 por v 1 na primeira equação:

- 9 v 1 + 8 v 1 = 32

v 1 = - 32   V

Como, v 1 = v 3 :

v 3 = - 32   V

Substituindo o valor encontrado de v 1 na segunda equação:

- 32 + 2 v 2 = 16

v 2 = 24   V

Passo 6

Para terminar, falta encontrarmos o valor de I 0 :

I 0 = v 1 8 = - 32 8 = - 4 A

Resposta

I 0 = - 4 A

v 1 = - 32   V

v 2 = 24   V

v 3 = - 32   V

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.101, Problema 3.11

Determinar V 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Queremos encontrar a tensão nodal V 0 que se encontra no nó 1, pois já sabemos o potencial do nó 2, que é o terra (0 volts). Para isso, vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e aplicar a LCK.

Equação de corrente para o nó 1:

i 1 = i 0 + i 2

Passo 2

Agora vamos escrever nossas correntes em função da tensão nodal:

i 0 = V 0 12

i 1 = 60 - V 0 12

i 2 = V 0 - ( - 24 ) 6 = V 0 + 24 6

Se ficar na dúvida, é só aplicar a lei das tensões de Kirchhoff, por exemplo, na malha da direita:

V 0 - 6 i 2 + 24 = 0

i 2 = V 0 + 24 6

Passo 3

Substituindo na primeira equação:

60 - V 0 12 = V 0 12 + V 0 + 24 6

Simplificando:

60 - V 0 = V 0 + 2 V 0 + 48

4 V 0 = 12 V

V 0 = 3   V

Resposta

V 0 = 3   V

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.101, Problema 3.12

Determine V 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No circuito abaixo, os nós 1 e 2 possuem tensões desconhecias, já que o terceiro está ligado ao terra.

Passo 2

Agora vamos desenhar os sentidos das correntes de cada ramo do circuito e nomear as tensões de cada nó para podermos aplicar a lei das correntes de Kirchhoff.

Além disso, a tensão nodal v 2 tem própria tensão que se pede no exercício.

Equações de corrente para o nós:

I x = i 1 + i 2 4 I x = i 1 + i 0

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 = V 0 10

i 1 = V 0 - v 1 10

i 2 = 40 - v 1 20

I x = v 1 20

Passo 4

Substituindo as correntes nas equações de corrente de cada nó:

v 1 20 = V 0 - v 1 10 + 40 - v 1 20 4 v 1 20 = V 0 - v 1 10 + V 0 10

Simplificando:

4 v 1 - 2 V 0 = 40 3 v 1 - 2 V 0 = 0

Passo 5

Isolando v 1 na segunda equação e substituindo na outra, temos:

v 1 = 2 V 0 3

4 2 V 0 3 - 2 V 0 = 40

V 0 = 60   V

Pronto!

Resposta

V 0 = 60   V

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.102. Problema 3.14

Usando análise nodal, determine v 0 no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bora lá! No circuito acima, temos apenas 3 nós.

Escolhendo o nó 3 como referência (terra), fazemos com que a tensão no nó 2 seja o próprio potencial v 0 . Além disso, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear a tensão do nó 1:

Passo 2

Aplicando a LCK, temos as seguintes equações de corrente para o nós:

i 1 = i 2 + 12,5                           i 2 + 12,5 = i 0 + i 3          

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 = v 0 - 0 4

i 1 = 100 - v 1 1

i 2 = v 1 - v 0 2

i 3 = v 0 + 50 8

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

100 - v 1 1 = v 1 - v 0 2 + 12,5 v 1 - v 0 2 + 12,5 = v 0 4 + v 0 + 50 8

Simplificando:

v 0 - 3 v 1 = - 175 - 7 v 0 + 4 v 1 = - 50

Passo 5

Agora teremos que resolver esse sistema aí de cima. Primeiro vamos isolar v 1 na primeira equação:

v 1 = 175 + v 0 3

Em seguida, substituir na segunda equação:

- 7 v 0 + 4 175 + v 0 3 = - 50

17 v 0 = 850

v 0 = 50   V

Resposta

v 0 = 50   V

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.79, Problema prático 3.3

Calcular v e i no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No circuito acima, ao escolhermos o nó inferior como referência, teremos uma fonte de tensão entre dois nós, formando um supernó. Não se preocupe, vamos com calma.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a LCK:

Aplicando a LCK ao supernó, temos a seguinte equação:

i + i 1 + i 2 = i 3

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i = v 2 2

i 1 = v 3

i 2 = v 2 6

i 3 = 14 - v 4

Passo 4

Substituindo as correntes na primeira equação, teremos que:

v 2 2 + v 3 + v 2 6 = 14 - v 4

Simplificando:

7 v + 8 v 2 = 42

Passo 5

Temos duas incógnitas e apenas uma equação. Precisamos encontrar uma outra equação que relacione v e v 2 .

Para isso, vamos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o supernó:

Percorrendo o laço:

- v - 6 + v 2 = 0

- v + v 2 = 6

Passo 6

Pronto, agora que temos duas equações para as duas incógnitas, vamos resolver esse sistema aí de baixo:

7 v + 8 v 2 = 42 - v + v 2 = 6        

Primeiro vamos isolar v 2 na segunda equação:

v 2 = 6 + v

Em seguida, substituir na primeira equação:

7 v + 8 6 + v = 42

15 v = - 6

v = - 0,4   V

Logo:

v 2 = 5,6   V

Então, se liga! Sempre que aparecer um supernó é esse o procedimento: Aplicar a LCK e a LTK!

Passo 7

Agora, para terminar, precisamos encontrar i :

i = v 2 2 = 5,6 2 = 2,8   A

Resposta

v = - 0,4   V

i = 2,8   A

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Livro Sadiku, 5ª edição, p.102. Problema 3.18

Determine as tensões nodais no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No circuito acima, os nós já estão identificados. O nó inferior está ligado ao terra e entre os nós 1 e 3 temos uma fonte de tensão formando um supernó. Relaxa, vamos ver o que fazer para esse caso ;)

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os sentidos das corretes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a LCK:

Aplicando a LKC ao supernó, temos a seguinte equação de corrente:

i 2 + i 4 = i 1 + i 3

Agora o mesmo para o nó 2:

15 = i 2 + i 4

Passo 3

Achar as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 1 = v 1 4

i 2 = v 2 - v 1 2

i 3 = v 3 8

i 4 = v 2 - v 3 2

Passo 4

Substituindo as correntes nas duas primeiras equações, temos que:

v 2 - v 1 2 + v 2 - v 3 2 = v 1 4 + v 3 8 15 = v 2 - v 1 2 + v 2 - v 3 2                  

Simplificando:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0 - v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30    

Passo 5

Temos três incógnitas e apenas duas equações. Precisamos encontrar uma outra equação que relacione v 1 , v 2 e v 3 . Para isso, vamos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o supernó:

Percorrendo o laço:

- v 1 - 30 + v 3 = 0

- v 1 + v 3 = 30

Passo 6

Pronto, agora que temos três equações para as três incógnitas, vamos resolver esse sistema aí de baixo:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0 - v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30     - v 1 + 0 v 2 + v 3 = 30    

Primeiro vamos isolar v 3 na terceira equação:

v 3 = 30 + v 1

Em seguida, substituir na primeira equação:

- 6 v 1 + 8 v 2 - 5 ( 30 + v 1 ) = 0

Simplificando:

- 11 v 1 + 8 v 2 = 150

E agora na segunda:

- v 1 + 2 v 2 - ( 30 + v 1 ) = 30  

Simplificando:

- 2 v 1 + 2 v 2 = 60

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema formado por essas duas novas equações:

- 11 v 1 + 8 v 2 = 150 - 2 v 1 + 2 v 2 = 60

Para resolver esse sistema vamos multipicar a segunda equação por (-4) e o resultado somaremos com a primeira:

3 v 1 = 90

v 1 = 30   V

Substituindo na segunda equação:

- 2 ( 30 ) + 2 v 2 = 60

v 2 = 60   V

Passo 8

Calma, já está quase acabando, falta encontrarmos v 3 .

Sabemos que:

- v 1 + v 3 = 30

Substituindo o valor encontrado para v 1 :

- 30 + v 3 = 30

v 3 = 60   V

Ufa! Acabou!

Resposta

v 1 = 30   V

v 2 = 60   V

v 3 = 60   V

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