Transformada de Laplace em circuitos

Teoria Completa

Motivação

Nós vimos que é possível determinar a resposta x ( t ) , que pode ser tensão ou corrente, sem precisarmos encontrar a EDO e resolvê-la.

Mas na realidade, como vimos nas teorias anteriores, tudo parte de uma EDO de primeira ou segunda ordem. Isso porque a partir dela chegamos nos casos de amortecimento e nas soluções gerais.

A gente só fez algumas deduções e utilizou de técnicas para pular essa etapa de resolver a EDO de maneira clássica, mas se você se sente seguro, pode resolvê-la normalmente, como a gente fez em alguns exercícios até aqui.

Nesse tópico a gente vai ver como resolver a EDO do circuito aplicando Transformada de Laplace.

Solução de Circuitos por Transformada de Laplace

Agora chega de papo. Vamos botar a mão na massa!

Para você ver que funciona, eu peguei o mesmo exemplo da teoria do tópico anterior. Vamos encontrar a tensão v ( t ) para t ≥ 0 no circuito abaixo, utilizando a Transformada de Laplace para resolvermos a EDO.

Para isso, vamos seguir alguns passos.

1º PASSO:

Esse passo é praticamente igual para todas as análises de circuitos. A gente precisa determinar nossas condições iniciais.

Em t = 0 - , a chave está aberta e podemos considerar o circuito em regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Como circuito está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Logo,

v 0 - = 20   V

i 0 - = 0

Em t = 0 + a chave é fechada e temos o seguinte circuito:

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 20   V

i 0 + = i 0 - = 0

Como queremos encontrar v ( t ) , ainda precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t . Como o capacitor está em paralelo com o resistor de 2   Ω , eles possuem a mesma tensão v t .

Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Logo,

d v d t = i c 0,5

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 0 + = v 0 + 2 + i c ( 0 + )

0 = 20 2 + i c 0 +

i c 0 + = - 10   A

Portanto,

d v 0 + d t = - 20   V / s

2º PASSO:

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v ( t ) no circuito para t > 0 .

Aplicando LCK ao nó do circuito acima,

i = i 1 + i c

Logo,

i = v 2 + 1 2 d v d t

E aplicando LTK na malha da esquerda,

- 20 + 4 i + 1 d i d t + v = 0

Como a gente está querendo determinar a tensão v ( t ) , vamos substituir i da primeira equação na segunda.

2 v + 2 d v d t + 1 2 d v d t   + 1 2 d 2 v d t 2 + v = 20

Simplificando,

1 2 d 2 v d t 2 + 5 2 d v d t + 3 v = 20

Arrumando os termos,

d 2 v d t 2 + 5 d v d t + 6 v = 40

Que podemos escrever também desta maneira:

v ' ' t + 5 v ' t + 6 v t = 40

3º PASSO:

Agora que encontramos EDO de segunda ordem não homogênea, precisamos resolvê-la utilizando Transformada de Laplace. Para isso, primeiro precisamos encontrar uma expressão para V ( s ) .

Para relembrar como funciona, vamos aplicar transformada de Laplace em cada termo da EDO:

L v ' ' t s = s 2 V s - s v 0 + - v ' ( 0 + )

L v ' t s = s V s - v 0 +

L v t s = V s

Quando temos uma constante sempre consideramos ela multiplicada pelo degrau unitário, porque para t > 0 ,   u t = 1 .

Logo,

L 40 s = L 40 u t s = 40 L u ( t ) s

Como,

L u ( t ) s = 1 s

L 4 0 s = 40 × 1 s = 40 s

Portanto, a nossa equação transformada é

s 2 V s - s v ( 0 + ) - v ' 0 + + 5 s V s - v 0 + + 6 V s = 40 s

Substituindo as condições iniciais que encontramos no primeiro passo

v 0 + = 20   V

v ' ( 0 + ) = - 20   V / s

Temos,

s 2 V s - s 20 - ( - 20 ) + 5 s V s - 5 ( 20 ) + 6 V s = 40 s

Simplificando,

s 2 V - 20 s + 20 + 5 s V s - 100 + 6 V s = 40 s

s 2 V s + 5 s V s + 6 V s = 40 s + 80 + 20 s

Isolando a transformada da tensão,

V s   s 2 + 5 s + 6 = 20 s 2 + 80 s + 40 s

V s = 20 s 2 + 80 s + 40 s s 2 + 5 s + 6

4º PASSO:

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Fatorando o polinômio do denominador, temos

V s = 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Expandindo em frações parciais,

V s = A s + B s + 2 + C s + 3

Agora, precisamos determinar as constantes A ,   B e C .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s → 0 ⁡ ( s - 0 ) V s

A = lim s → 0 ⁡ s 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Simplificando,

A = lim s → 0 ⁡ 20 s 2 + 80 s + 40 s + 2 s + 3 = 40 6 = 20 3

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

Como a raiz de ( s + 2 ) é - 2 , temos:

B = lim s → - 2 ⁡   ( s + 2 ) V s

B = lim s → - 2 ⁡   ( s + 2 ) 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Simplificando,

B = lim s → - 2 ⁡ 20 s 2 + 80 s + 40 s s + 3

B = 80 - 160 + 40 - 2 = 20

E para C

C = lim s → - 3 ⁡   ( s + 3 ) V s

C = lim s → - 3 ⁡   ( s + 3 ) 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Simplificando,

C = lim s → - 3 ⁡ 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 )

C = 180 - 240 + 40 3 = - 20 3

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V s = 20 3 1 s + 20 1 s + 2 + - 20 3 1 s + 3

5º PASSO:

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V s = v ( t )

L - 1 V s = 20 3 L - 1 1 s + 20 L - 1 1 s + 2 + - 20 3 L - 1 1 s + 3

Mais abaixo, eu vou fazer uma tabela com as funções mais usadas e suas respectivas Transformadas de Laplace, para você dar aquela relembrada. Mas, adiantando, sabendo que

L - 1 1 s = u t

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

L - 1 1 s + 3 = e - 3 t

Portanto,

v t = 20 3 u t + 20 e - 2 t u ( t ) - 20 3 e - 3 t u ( t )

A gente sempre multiplica cada termo da equação pelo degrau unitário u ( t ) , para deixar claro que a expressão é válida apenas para t > 0 .

v t = 20 3 + 20 e - 2 t - 20 3 e - 3 t   u ( t )

A gente também pode escrever a resposta acima da seguinte maneira:

v t = 20 3 + 20 e - 2 t - 20 3 e - 3 t         p a r a   t ≥ 0

Pronto! Missão cumprida.

Vamos relembrar os passos:

  1. Determinar as condições iniciais x 0 + e d x ( 0 + ) / d t ;
  2. Encontrar a EDO que descreve x ( t ) no circuito para t > 0 , aplicando a LCK ou LTK no circuito;
  3. Aplicar a Transformada de Laplace na EDO para encontrar uma expressão para X s ;
  4. Utilizar o método de expansão em frações parciais, para partir X ( s ) em somas de parcelas mais simples;
  5. Aplicar a Transformada inversa de Laplace

L - 1 X s = x ( t )

Seguindo esses passos não tem erro. Abaixo tem a tabela com as funções mais usadas e suas respectivas Transformadas de Laplace.

Agora é praticar! Separei exercícios espertos para você. 😉

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercício 4 – Lista de Exercícios – Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Dado o circuito a seguir, determine a resposta natural da descarga do capacitor no circuito a seguir utilizando a transformada de Laplace.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos escrever as equações referentes ao resistor:

v t = R * i t

Aplicando a transformada de Laplace:

V s = R * I ( s )

Então mantemos o mesmo circuito no domínio de s:

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo com o capacitor:

i t = C * d v d t

d v d t =   i ( t ) C

Aplicando a transformada de Laplace:

L d v d t = s V s - v ( 0 - )

L i ( t ) C = I ( s ) C

Logo, aplicando Laplace em d v d t =   i ( t ) C , temos:

s V s - v 0 - =   I ( s ) C

s V s =   I ( s ) C +   v 0 -

V s =   I ( s ) s C + v 0 - s  

Passo 3

Podemos substituir o circuito no domínio do tempo por um circuito no domínio de s da sequinte maneiraque corresponde a equação que encontramos:

V s =   I ( s ) s C + v 0 - s  

Passo 4

Agora podemos acoplar os dois circuitos e analisar a tensão de descarga no capacitor:

I s =   I 1 s +   I 2 s

C v 0 =   V c   ( s ) R +   V c   ( s ) 1 R C

C v 0 =   V c   s 1 R + 1 1 R C

V c   s = C v 0 s C +   1 R

V c   s = v 0 C +   1 R C

Passo 5

Vamos fazer a transformada inversa de Laplace:

L - 1 [ V c   s ] = L - 1 [ v 0 C +   1 R C ]

v c t =   V 0   e - t R C

Pronto, pessoal, encontramos a mesma equação que já conhecíamos da descarga do capacitor com um resistor, mas agora através de Laplace.

Passo 6

Resposta

v c t =   V 0   e - t R C

Exercício Resolvido #2

Livro Close, p.532, Problema 10.8

Escreva uma equação nodal descrevendo o circuito abaixo para t > 0 . Se a capacitância estava descarregada para t < 0 , determine V 0 s = L e 0 t . Determine a transformada inversa de pelo método das frações parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar a condição inicial de v 0 .

Em t = 0 - , a fonte de tensão vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada. Além disso, o enunciado disse que o capacitor estava descarregado. Logo, não há circulação de corrente no circuito e

v 0 0 - = 0

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0   V

Passo 2

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v ( t ) no circuito para t > 0 . Para t > 0 , a fonte de tensão passa a funcionar e vale 1   V , já que para t > 0 o degrau unitário vale um, u t = 1 . Então, a gente tem esse circuito aí.

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 1 = i 2 + i 0

Logo,

1 - v 0 3 = v 0 6 + 2 d v 0 d t

Arrumando os termos,

2 d v 0 d t + v 0 6 + v 0 3 = 1 3

Simplificando,

2 d v 0 d t + 1 2 v 0 = 1 3

d v 0 d t + 1 4 v 0 = 1 6

Que podemos escrever também desta maneira:

v 0 ' t + 1 4 v 0 t = 1 6

Passo 3

Agora que encontramos a EDO não homogênea, precisamos resolvê-la utilizando Transformada de Laplace. Para isso, primeiro precisamos encontrar uma expressão para V 0 ( s ) .

Para relembrar como funciona, vamos aplicar transformada de Laplace em cada termo da EDO:

L v 0 ' t s = s V s - v 0 0 +

L v 0 t s = V s

Quando temos uma constante sempre consideramos ela multiplicada pelo degrau unitário, porque para t > 0 ,   u t = 1 .

Logo,

L 1 6 s = L 1 6 u t s = 1 6 L u ( t ) s

Como,

L u ( t ) s = 1 s

L 1 6 s = 1 6 × 1 s

Portanto, a nossa equação transformada é

s V s - v 0 ( 0 + ) + 1 4 V s = 1 6 × 1 s

Substituindo a condição inicial que encontramos

v 0 0 + = 0

Temos,

s V 0 s - ( 0 ) + 1 4 V 0 s = 1 6 × 1 s

Simplificando,

s V 0 s + 1 4 V 0 s = 1 6 × 1 s

Isolando a transformada da tensão,

V 0 s   s + 1 4 = 1 / 6 s

V 0 s = 1 / 6 s s + 1 4

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

V 0 s = A s + B s + 1 4

Agora, precisamos determinar as constantes A e B .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s → 0 ⁡ ( s - 0 ) V 0 s

A = lim s → 0 ⁡ s 1 / 6 s s + 1 4

Simplificando,

A = lim s → 0 ⁡ 1 / 6 s + 1 4 = 4 6 = 2 3

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

Como a raiz de ( s + 1 / 4 ) é - 1 / 4 , temos:

B = lim s → - 1 / 4 ⁡   s + 1 4 V 0 s

B = lim s → - 1 / 4 ⁡   s + 1 4 1 / 6 s s + 1 4

Simplificando,

B = lim s → - 1 / 4 ⁡ 1 / 6 s

B = - 4 6 = - 2 3

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V 0 s = 2 3 1 s + - 2 3 1 s + 1 4

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V 0 s = v 0 ( t )

L - 1 V 0 s = 2 3 L - 1 1 s - 2 3 L - 1 1 s + 1 4

Como,

L - 1 1 s = u t

L - 1 1 s + 1 4 = e - 1 4 t

Portanto,

v 0 t = 2 3 u t - 2 3 e - t 4  

v 0 t = 2 3 1 - e - t 4       p a r a   t > 0

A gente também pode escrever a resposta acima da seguinte maneira:

v 0 t = 2 3 ( 1 - e - t 4 )   u ( t )

Resposta

v 0 t = 2 3 ( 1 - e - t 4 )   u ( t )

Exercício Resolvido #3

Livro Close, p.159, Problema 3.11

Determine i 0 t se o circuito abaixo não contiver energia armazenada para t < 0 , e se v t = δ t .