Transformada de Laplace em circuitos

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Teoria

Motivação

Nós vimos que é possível determinar a resposta x ( t ) , que pode ser tensão ou corrente, sem precisarmos encontrar a EDO e resolvê-la.

Mas na realidade, como vimos nas teorias anteriores, tudo parte de uma EDO de primeira ou segunda ordem. Isso porque a partir dela chegamos nos casos de amortecimento e nas soluções gerais.

A gente só fez algumas deduções e utilizou de técnicas para pular essa etapa de resolver a EDO de maneira clássica, mas se você se sente seguro, pode resolvê-la normalmente, como a gente fez em alguns exercícios até aqui.

Nesse tópico a gente vai ver como resolver a EDO do circuito aplicando Transformada de Laplace.

Solução de Circuitos por Transformada de Laplace

Agora chega de papo. Vamos botar a mão na massa!

Para você ver que funciona, eu peguei o mesmo exemplo da teoria do tópico anterior. Vamos encontrar a tensão v ( t ) para t ≥ 0 no circuito abaixo, utilizando a Transformada de Laplace para resolvermos a EDO.

Para isso, vamos seguir alguns passos.

1º PASSO:

Esse passo é praticamente igual para todas as análises de circuitos. A gente precisa determinar nossas condições iniciais.

Em t = 0 - , a chave está aberta e podemos considerar o circuito em regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Como circuito está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Logo,

v 0 - = 20   V

i 0 - = 0

Em t = 0 + a chave é fechada e temos o seguinte circuito:

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 20   V

i 0 + = i 0 - = 0

Como queremos encontrar v ( t ) , ainda precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t . Como o capacitor está em paralelo com o resistor de 2   Ω , eles possuem a mesma tensão v t .

Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Logo,

d v d t = i c 0,5

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 0 + = v 0 + 2 + i c ( 0 + )

0 = 20 2 + i c 0 +

i c 0 + = - 10   A

Portanto,

d v 0 + d t = - 20   V / s

2º PASSO:

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v ( t ) no circuito para t > 0 .

Aplicando LCK ao nó do circuito acima,

i = i 1 + i c

Logo,

i = v 2 + 1 2 d v d t

E aplicando LTK na malha da esquerda,

- 20 + 4 i + 1 d i d t + v = 0

Como a gente está querendo determinar a tensão v ( t ) , vamos substituir i da primeira equação na segunda.

2 v + 2 d v d t + 1 2 d v d t   + 1 2 d 2 v d t 2 + v = 20

Simplificando,

1 2 d 2 v d t 2 + 5 2 d v d t + 3 v = 20

Arrumando os termos,

d 2 v d t 2 + 5 d v d t + 6 v = 40

Que podemos escrever também desta maneira:

v ' ' t + 5 v ' t + 6 v t = 40

3º PASSO:

Agora que encontramos EDO de segunda ordem não homogênea, precisamos resolvê-la utilizando Transformada de Laplace. Para isso, primeiro precisamos encontrar uma expressão para V ( s ) .

Para relembrar como funciona, vamos aplicar transformada de Laplace em cada termo da EDO:

L v ' ' t s = s 2 V s - s v 0 + - v ' ( 0 + )

L v ' t s = s V s - v 0 +

L v t s = V s

Quando temos uma constante sempre consideramos ela multiplicada pelo degrau unitário, porque para t > 0 ,   u t = 1 .

Logo,

L 40 s = L 40 u t s = 40 L u ( t ) s

Como,

L u ( t ) s = 1 s

L 4 0 s = 40 × 1 s = 40 s

Portanto, a nossa equação transformada é

s 2 V s - s v ( 0 + ) - v ' 0 + + 5 s V s - v 0 + + 6 V s = 40 s

Substituindo as condições iniciais que encontramos no primeiro passo

v 0 + = 20   V

v ' ( 0 + ) = - 20   V / s

Temos,

s 2 V s - s 20 - ( - 20 ) + 5 s V s - 5 ( 20 ) + 6 V s = 40 s

Simplificando,

s 2 V - 20 s + 20 + 5 s V s - 100 + 6 V s = 40 s

s 2 V s + 5 s V s + 6 V s = 40 s + 80 + 20 s

Isolando a transformada da tensão,

V s   s 2 + 5 s + 6 = 20 s 2 + 80 s + 40 s

V s = 20 s 2 + 80 s + 40 s s 2 + 5 s + 6

4º PASSO:

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Fatorando o polinômio do denominador, temos

V s = 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Expandindo em frações parciais,

V s = A s + B s + 2 + C s + 3

Agora, precisamos determinar as constantes A ,   B e C .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s → 0 ⁡ ( s - 0 ) V s

A = lim s → 0 ⁡ s 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Simplificando,

A = lim s → 0 ⁡ 20 s 2 + 80 s + 40 s + 2 s + 3 = 40 6 = 20 3

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

Como a raiz de ( s + 2 ) é - 2 , temos:

B = lim s → - 2 ⁡   ( s + 2 ) V s

B = lim s → - 2 ⁡   ( s + 2 ) 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Simplificando,

B = lim s → - 2 ⁡ 20 s 2 + 80 s + 40 s s + 3

B = 80 - 160 + 40 - 2 = 20

E para C

C = lim s → - 3 ⁡   ( s + 3 ) V s

C = lim s → - 3 ⁡   ( s + 3 ) 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 ) ( s + 3 )

Simplificando,

C = lim s → - 3 ⁡ 20 s 2 + 80 s + 40 s ( s + 2 )

C = 180 - 240 + 40 3 = - 20 3

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V s = 20 3 1 s + 20 1 s + 2 + - 20 3 1 s + 3

5º PASSO:

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V s = v ( t )

L - 1 V s = 20 3 L - 1 1 s + 20 L - 1 1 s + 2 + - 20 3 L - 1 1 s + 3

Mais abaixo, eu vou fazer uma tabela com as funções mais usadas e suas respectivas Transformadas de Laplace, para você dar aquela relembrada. Mas, adiantando, sabendo que

L - 1 1 s = u t

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

L - 1 1 s + 3 = e - 3 t

Portanto,

v t = 20 3 u t + 20 e - 2 t u ( t ) - 20 3 e - 3 t u ( t )

A gente sempre multiplica cada termo da equação pelo degrau unitário u ( t ) , para deixar claro que a expressão é válida apenas para t > 0 .

v t = 20 3 + 20 e - 2 t - 20 3 e - 3 t   u ( t )

A gente também pode escrever a resposta acima da seguinte maneira:

v t = 20 3 + 20 e - 2 t - 20 3 e - 3 t         p a r a   t ≥ 0

Pronto! Missão cumprida.

Vamos relembrar os passos:

  1. Determinar as condições iniciais x 0 + e d x ( 0 + ) / d t ;
  2. Encontrar a EDO que descreve x ( t ) no circuito para t > 0 , aplicando a LCK ou LTK no circuito;
  3. Aplicar a Transformada de Laplace na EDO para encontrar uma expressão para X s ;
  4. Utilizar o método de expansão em frações parciais, para partir X ( s ) em somas de parcelas mais simples;
  5. Aplicar a Transformada inversa de Laplace

L - 1 X s = x ( t )

Seguindo esses passos não tem erro. Abaixo tem a tabela com as funções mais usadas e suas respectivas Transformadas de Laplace.

Agora é praticar! Separei exercícios espertos para você. 😉

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dado o circuito a seguir, determine a resposta natural da descarga do capacitor no circuito a seguir utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

Primeiro vamos escrever as equações referentes ao resistor:

v t = R * i t

Aplicando a transformada de Laplace:

V s = R * I ( s )

Então mantemos o mesmo circuito no domínio de s:

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo com o capacitor:

i t = C * d v d t

d v d t =   i ( t ) C

Aplicando a transformada de Laplace:

L d v d t = s V s - v ( 0 - )

L i ( t ) C = I ( s ) C

Logo, aplicando Laplace em d v d t =   i ( t ) C , temos:

s V s - v 0 - =   I ( s ) C

s V s =   I ( s ) C +   v 0 -

V s =   I ( s ) s C + v 0 - s  

Passo 3

Podemos substituir o circuito no domínio do tempo por um circuito no domínio de s da sequinte maneiraque corresponde a equação que encontramos:

V s =   I ( s ) s C + v 0 - s  

Passo 4

Agora podemos acoplar os dois circuitos e analisar a tensão de descarga no capacitor:

I s =   I 1 s +   I 2 s

C v 0 =   V c   ( s ) R +   V c   ( s ) 1 R C

C v 0 =   V c   s 1 R + 1 1 R C

V c   s = C v 0 s C +   1 R

V c   s = v 0 C +   1 R C

Passo 5

Vamos fazer a transformada inversa de Laplace:

L - 1 [ V c   s ] = L - 1 [ v 0 C +   1 R C ]

v c t =   V 0   e - t R C

Pronto, pessoal, encontramos a mesma equação que já conhecíamos da descarga do capacitor com um resistor, mas agora através de Laplace.

Passo 6

Resposta

v c t =   V 0   e - t R C

Exercício Resolvido #2

Escreva uma equação nodal descrevendo o circuito abaixo para t > 0 . Se a capacitância estava descarregada para t < 0 , determine V 0 s = L e 0 t . Determine a transformada inversa de pelo método das frações parciais.

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar a condição inicial de v 0 .

Em t = 0 - , a fonte de tensão vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada. Além disso, o enunciado disse que o capacitor estava descarregado. Logo, não há circulação de corrente no circuito e

v 0 0 - = 0

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0   V

Passo 2

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v ( t ) no circuito para t > 0 . Para t > 0 , a fonte de tensão passa a funcionar e vale 1   V , já que para t > 0 o degrau unitário vale um, u t = 1 . Então, a gente tem esse circuito aí.

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 1 = i 2 + i 0

Logo,

1 - v 0 3 = v 0 6 + 2 d v 0 d t

Arrumando os termos,

2 d v 0 d t + v 0 6 + v 0 3 = 1 3

Simplificando,

2 d v 0 d t + 1 2 v 0 = 1 3

d v 0 d t + 1 4 v 0 = 1 6

Que podemos escrever também desta maneira:

v 0 ' t + 1 4 v 0 t = 1 6

Passo 3

Agora que encontramos a EDO não homogênea, precisamos resolvê-la utilizando Transformada de Laplace. Para isso, primeiro precisamos encontrar uma expressão para V 0 ( s ) .

Para relembrar como funciona, vamos aplicar transformada de Laplace em cada termo da EDO:

L v 0 ' t s = s V s - v 0 0 +

L v 0 t s = V s

Quando temos uma constante sempre consideramos ela multiplicada pelo degrau unitário, porque para t > 0 ,   u t = 1 .

Logo,

L 1 6 s = L 1 6 u t s = 1 6 L u ( t ) s

Como,

L u ( t ) s = 1 s

L 1 6 s = 1 6 × 1 s

Portanto, a nossa equação transformada é

s V s - v 0 ( 0 + ) + 1 4 V s = 1 6 × 1 s

Substituindo a condição inicial que encontramos

v 0 0 + = 0

Temos,

s V 0 s - ( 0 ) + 1 4 V 0 s = 1 6 × 1 s

Simplificando,

s V 0 s + 1 4 V 0 s = 1 6 × 1 s

Isolando a transformada da tensão,

V 0 s   s + 1 4 = 1 / 6 s

V 0 s = 1 / 6 s s + 1 4

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

V 0 s = A s + B s + 1 4

Agora, precisamos determinar as constantes A e B .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s → 0 ⁡ ( s - 0 ) V 0 s

A = lim s → 0 ⁡ s 1 / 6 s s + 1 4

Simplificando,

A = lim s → 0 ⁡ 1 / 6 s + 1 4 = 4 6 = 2 3

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

Como a raiz de ( s + 1 / 4 ) é - 1 / 4 , temos:

B = lim s → - 1 / 4 ⁡   s + 1 4 V 0 s

B = lim s → - 1 / 4 ⁡   s + 1 4 1 / 6 s s + 1 4

Simplificando,

B = lim s → - 1 / 4 ⁡ 1 / 6 s

B = - 4 6 = - 2 3

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V 0 s = 2 3 1 s + - 2 3 1 s + 1 4

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V 0 s = v 0 ( t )

L - 1 V 0 s = 2 3 L - 1 1 s - 2 3 L - 1 1 s + 1 4

Como,

L - 1 1 s = u t

L - 1 1 s + 1 4 = e - 1 4 t

Portanto,

v 0 t = 2 3 u t - 2 3 e - t 4  

v 0 t = 2 3 1 - e - t 4       p a r a   t > 0

A gente também pode escrever a resposta acima da seguinte maneira:

v 0 t = 2 3 ( 1 - e - t 4 )   u ( t )

Resposta

v 0 t = 2 3 ( 1 - e - t 4 )   u ( t )

Exercício Resolvido #3

Determine i 0 t se o circuito abaixo não contiver energia armazenada para t < 0 , e se v t = δ t .

Passo 1

Primeiro, vamos analisar em t = 0 . Como o impulso de tensão não pode ser aplicado no capacitor nem no resistor que está em paralelo com ele, porque causaria uma mudança repentina na tensão do capacitor.

Ele deve ser aplicado no primeiro resistor de 1 / 3   Ω , gerando um impulso de corrente:

v 0 = 1 3 i 0 0

i 0 0 = 3

Pronto, encontramos a corrente em t = 0 .

Passo 2

Agora falta calcularmos para t > 0 .

Vamos distribuir a corrente como no circuito abaixo:

Aplicando a LCK, temos:

i 0 = i R + i c

Como,

i R = v c 1 / 3 = 3 v c

e

i c = C d v c d t = 5 d v c d t