Enunciado

18. Determine as tensões nodais no circuito da figura 3.67 usando análise nodal.

Passo 1

No circuito acima os nós já estão identificados. O nó inferior está ligado ao terra e entre os nós 1 e 3 temos uma fonte de tensão dando origem a um supernó. Vamos ver então, o que fazer para este caso:

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o supernó, temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 2 + i 4 = i 1 + i 3

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

15 = i 2 + i 4

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 1 =   v 1 4

i 2 =   v 2 -   v 1 2

i 3 =   v 3   8

i 4 =   v 2 -   v 3   2

E substituindo em seguida essas correntes, nas duas relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

  v 2 -   v 1 2 +   v 2 -   v 3   2 =   v 1 4 +   v 3   8   ( I ) 15 =     v 2 -   v 1 2 +   v 2 -   v 3   2   ( I I )

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

  -   6 v 1 + 8 v 2 - 5 v 3 = 0   ( I )   -   v 1 + 2 v 2 - v 3 = 30     ( I I )

Passo 5

Temos duas equações e três incógnitas. Precisamos encontrar uma outra equação que relacione v 1 , v 2 e v 3 . Para isso, vamos usar a lei das tensões de K i r c h h o f f para o supernó:

Percorrendo o laço, obtemos que:

- v 1 - 30 + v 3 = 0

v 3 = v 1 + 30

Passo 6

Em seguida, vamos isolar v 3 nas duas equações com três incógnitas anteriores...

  -   6 v 1 + 8 v 2 - 5 ⋅ ( v 1 + 30 ) = 0   ( I )   -   v 1 + 2 v 2 - ( v 1 + 30 ) = 30     ( I I )

  -   11 v 1 + 8 v 2 = 150   -   2 v 1 + 2 v 2 = 60

Vamos então, multiplicar essa segunda equação por - 4 e depois somar com a primeira:

  -   11 v 1 + 8 v 2 = 150     8 v 1 - 8 v 2 = - 240

De modo a ficarmos apenas com:

-   3 v 1 = - 90

v 1 = 90 3   V

v 1 = 30   V

E substituindo esse v 1 na nossa segunda equação, obtemos o valor de v 2 :

-   2 v 1 + 2 v 2 = 60

-   v 1 + v 2 = 30

v 2 = v 1 + 30   V

v 2 = 30   V + 30   V

v 2 = 60   V

Por último, com sabemos o valor de v 1 ...

v 3 = v 1 + 30

v 3 = 30   V + 30   V

v 3 = 60   V

Resposta

v 1 = 30   V

v 2 = 60   V

v 3 = 60   V

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