Enunciado

47. Determine i 0 no circuito da figura 10.92 utilizando o princípio da superposição.

Passo 1

Fala galerinha! Bora pro nosso segundo probleminha sobre superposição em circuitos C A .

Olha só! Na figura do enunciado, há a presença de uma fonte de corrente alternada, uma fonte de tensão contínua e outra fonte de tensão alternada.

O que precisamos fazer pra esse caso, é analisar a influência isolada de cada fonte no circuito. Ou seja, iremos considerar cada fonte separadamente, e a corrente elétrica total em qualquer ramo do circuito é igual a soma algébrica das tensões produzidas por cada fonte atuando separadamente.

Vamos então, por a mão na massa.

Passo 2

Primeiramente, vamos retirar a fonte de tensão alternada e abrir o circuito no ramo onde está a fonte de corrente, como manda o protocolo.

Desse modo, uma vez que estamos operando em tensão contínua, o capacitor vira um circuito aberto, e o indutor vira um curto circuito.

A seguinte figura abaixo, ilustra isso:

E como a corrente desse caso, que chamamos de i 1 , está circulando apenas naquela malha à direita... Logo, é fácil determinar seu valor:

i 1 = 24   V 2 + 4   Ω

i 1 = 4   A

Passo 3

Agora, vamos excluir a fonte de tensão alternada e a fonte de tensão contínua, deixando apenas a fonte de corrente alternada.

E já sabe, né! Primeira coisa a se fazer é passar os elementos pro domínio da frequência:

2 cos ⁡ 3 t → 2 ∠ 0 °     ,   ω = 3   r a d / s

1 6   F → - j 1 ω C = - j 1 1 6 ⋅ 3 = - j 2   Ω

2 H → j ω L = j ( 3 ⋅ 2 ) = j 6   Ω

Desse modo, o nosso circuito vai ficar com a seguinte cara:

O resistor de 1   Ω e o indutor de impedância - j 2   Ω , estão em série. E o resultado dessa associação, está em paralelo com o resistor de 2   Ω . De forma que temos...

[ 1 - j 2 | | 2 ] Ω = 1 - j 2 ⋅ 2 1 - j 2 + 2

E a corrente i 2 pode então, ser facilmente obtida por divisão de corrente. Desse jeitinho aqui:

i 2 = [ 1 - j 2 | | 2 ]     Ω [ [ 1 - j 2 | 2 + 4 + j 6 ]   Ω ⋅ 2 ∠ 0 °   A

i 2 = 1 - j 2 ⋅ 2 3 - j 2   Ω 1 - j 2 ⋅ 2 3 - j 2 + 4 + j 6   Ω ⋅ 2 ∠ 0 °   A

i 2 = 2 ( 1 - j 2 ) 13 + j 3

i 2 = 4,472 ∠ - 63,435 ° 13,342 ∠ 12,995 °

i 2 = 0,3352 ∠ - 76,43 °   A

Passando pro domínio do tempo...

i 2 = 0,3352 cos ⁡ ( 3 t - 76,43 ° )   A

Passo 4

E por último, vamos deixar apenas a fonte de tensão alternada, exluindo a fonte de tensão contínua e abrindo o circuito no ramo onde está a fonte de corrente.

Desse modo, passando os elementos pro domínio da frequência:

10 sen ⁡ ( t - 30 ° ) → 10 ∠ - 30 °     ,   ω = 1   r a d / s

1 6   F → - j 1 ω C = - j 1 1 6 ⋅ 1 = - j 6   Ω

2 H → j ω L = j ( 1 ⋅ 2 ) = j 2   Ω

Chegamos ao seguinte circuito modificado:

Vamos usar a lei das malhas para descobri o valor de i 3 .... Como podemos ver na figura acima, i 3 é a corrente de malha I 2 .

Aplicando a L K C para a malha 1 :

- 10 ∠ - 30 ° + 1 I 1 - j 6 I 1 + 2 I 1 - I 2 = 0

3 - j 6 I 1 - 2 I 2 = 10 ∠ - 30 °   ( i )

E aplicando a L K C para a malha 2 :

2 I 2 - I 1 + j 2 I 2 + 4 I 2 = 0

2 I 1 = 6 + j 2 I 2

I 1 = ( 3 + j ) I 2   ( i i )

Subtituindo essa relação ( i i ) em ( i ) , obtemos que:

3 - j 6 I 1 - 2 I 2 = 10 ∠ - 30 °  

3 - j 6 ( 3 + j ) I 2 - 2 I 2 = 10 ∠ - 30 °  

13 - j 15 I 2 = 10 ∠ - 30 °  

I 2 = 10 ∠ - 30 ° 19,85 ∠ - 49,09 °

I 2 = 0,504 sen ⁡ ( t + 19,1 ° ) A

Desse modo, a corrente i 3 é dada por:

i 3 = 0,504 sen ⁡ ( t + 19,1 ° ) A

Passo 5

Por fim, temos apenas que somar as correntes i 1 , i 2 e i 3 para obter a corrente i 0 :

i 0 = i 1 + i 2 + i 3

i 0 = 4 + 0,3352 cos ⁡ ( 3 t - 76,43 ° + 0,504 sen ⁡ ( t + 19,1 ° ) ]   A

Resposta

i 0 = 4 + 0,3352 cos ⁡ ( 3 t - 76,43 ° + 0,504 sen ⁡ ( t + 19,1 ° ) ]   A

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