Enunciado

85. Um amplificador de áudio com resistência de 9 V fornece

potência para um alto-falante. Qual deve ser a resistência

do alto-falante para se obter a potência máxima?

Passo 1

O amplificador funciona como uma fonte, dessa forma:

A potência que passa pelo alto-falante pode ser escrita como:

P A F = i ⋅ V A F

Primeiro, vamos encontrar a corrente que passa por ele.

A corrente que passa pelo alto-falante é a mesma que passa por todo o circuito pois só temos uma malha aqui, ela pode ser escrita como:

i = V a m p R a m p + R A F

Beleza, agora precisamos da tensão a que esse alto-falante esta submetido, vamos somar as tensões da malha:

- V a m p + i ⋅ R a m p + V A F = 0

Isolando a tensão do alto-falante:

V A F = V a m p - i ⋅ R a m p

Nós já sabemos o valor da corrente:

V A F = V a m p - V a m p R a m p + R A F ⋅ R a m p

Vamos substituir essas duas equações, equação da potência:

P A F = V a m p R a m p + R A F ⋅ V a m p - V a m p R a m p + R A F ⋅ R a m p

Podemos tirar a tensão do amplificador em evidência:

P A F = V a m p 2 ⋅ 1 R a m p + R A F - R a m p R a m p + R A F 2

Passo 2

Para a potência ter o valor máximo essa parte da expressão deve ter o valor máximo, já que a tensão do amplificador não muda:

1 R a m p + R A F - R a m p R a m p + R A F 2

E para essa expressão ter o valor máximo sua derivada deve ser igual a zero, então vamos derivar essa expressão, (lembrando que a resistência do amplificador é a variável):

0 ⋅ R a m p + R A F - 1 ⋅ 1 R a m p + R A F 2 - 0 ⋅ R a m p + R A F 2 - 2 R a m p + R A F ⋅ R a m p R a m p + R A F 4 = 0

Simplificando:

- 1 R a m p + R A F 2 + 2 R a m p R a m p + R A F R a m p + R A F 4 = 0

2 R a m p R a m p + R A F R a m p + R A F 4 = 1 R a m p + R A F 2

2 R a m p R a m p + R A F = R a m p + R A F 2

Multiplicando tudo:

2 R a m p 2 + 2 R a m p ⋅ R A F = R a m p 2 + 2 R a m p ⋅ R A F + R A F 2

R a m p 2 = R A F 2

Então

R a m p = R A F

Ou seja

R A F = 9   Ω

Resposta

R A F = 9   Ω

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