Enunciado

Calcule as frequências naturais de um circuito caracterizado por

d 2 x d t 2 + a 1 d x d t + a 0 x = 0

Se (a) a 1 = 5 , a 0 = 4 ; (b)   a 1 = 4 , a 0 = 13 ; (c) a 1 = 8 , a 0 = 16 .

Passo 1

Fala galera, nesse exemplo vamos resolver a equação característica e dependendo do valor do Δ , teremos um dos 3 casos possíveis (Super amortecido, amortecimento crítico e subamortecido).

Para cada um dos três casos, iremos encontrar a sua frequência natural a partir do valor da raíz da equação característica.

Passo 2

Para a letra (a), teremos a seguinte equação característica:

s 2 + 5 s + 4 = 0

Calculando o Δ , teremos:

Δ = 25 - 4 × 1 × 4

Δ = 25 - 16 = 9

Como temos o Δ > 0 , teremos duas raízes reais distintas e estamos no caso super amortecido.

Encontrando as raízes:

s = - 5 ± 9 2 × 1

s ' = - 1

s ' ' = - 4

Passo 3

Para a letra (b), teremos a seguinte equação característica:

s 2 + 4 s + 13 = 0

Calculando o Δ , teremos:

Δ = 16 - 4 × 1 × 13

Δ = 16 - 52 = - 36

Como temos o Δ < 0 , teremos duas raízes imaginárias distintas e estamos no caso sub amortecido.

Encontrando as raízes:

s = - 4 ± - 36 2 × 1

s = - 2 ± 3 j

Passo 4

Para a letra ©, teremos a seguinte equação característica:

s 2 + 8 s + 16 = 0

Calculando o Δ , teremos:

Δ = 64 - 4 × 1 × 16

Δ = 64 - 64 = 0

Como temos o Δ = 0 , teremos duas raízes reais iguais e estamos no caso criticamente amortecido.

Encontrando as raízes:

s = - 8 2 × 1

s ' = - 4

s ' ' = - 4

s ' = - 1

s ' ' = - 4

Vamos encontrar essas raízes pela fórmula de Bhaskara:

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 4

Δ = 16 - 16

Δ = 0

Resposta

a)

s ' = - 1 ; s ' ' = - 4

b)

s ' = - 2 + j 3 ; s ' ' = - 2 - j 3

c)

s ' = - 4 ; s ' ' = - 4

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de