Enunciado

Dada a equação diferencial linear

t - 1 d 2 x d t 2 + t - 2 d x d t = 0

Mostre que x 1 = t e - t , x 2 = 1 e x 1 + x 2 são soluções.

Passo 1

Galeres, o que vamos fazer aqui nessa questão é o que fizemos em várias outras nesse capítulo. Para provar que essas funções são respostas para a equação diferencial, vamos substituir as funções e as suas derivadas e ver se a igualdade da equação diferencial será mantida.

Bora lá?

Passo 2

Começando por x 1 = t e - t , vamos calcular sua primeira e segunda derivada.

Se liga, que vamos ter uma regra do produto entre as funções t e e - t

d x 1 d t = 1 × e - t + t × - 1 e - t

d x 1 d t = e - t - t e - t = e - t 1 - t

E para a segunda derivada, também vamos ter uma regra do produto, só que agora entre as funções e - t e 1 - t :

d 2 x 1 d t 2 = - 1 e - t × 1 - t + e - t × - 1

d 2 x 1 d t = - e - t + t e - t - e - t

d 2 x 1 d t = e - t - 2 + t

E agora, é só substituir na equação diferencial homogênea dada:

t - 1 d 2 x 1 d t 2 + t - 2 d x 1 d t = 0

t - 1 e - t - 2 + t + t - 2 e - t 1 - t = 0

Aplicando a distributiva:

e - t - 2 t + t 2 + 2 - t + e - t t - t 2 - 2 + 2 t = 0

e - t t 2 - 3 t + 2 + e - t - t 2 + 3 t - 2 = 0

e - t t 2 - t 2 - 3 t + 3 t + 2 - 2 = 0

e - t 0 = 0

0 = 0

Opa, conseguimos, mantemos nossa igualdade!!

Passo 3

Agora, vamos repetir o processo para x 2 = 1 , no entanto, esse caso é mais fácil, pois é uma constante e suas derivadas são zero:

d x 2 d t = 0

d 2 x 2 d t 2 = 0

Substituindo na equação diferencial, teremos:

t - 1 d 2 x 2 d t 2 + t - 2 d x 2 d t = 0

t - 1 0 + t - 2 0 = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Opa, mantivemos a igualdade novamente!

Pra finalizar o exercício, no último passo, vamos verificar se x = x 1 + x 2 também soluciona a equação diferencial.

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas de x = x 1 + x 2

x = t e - t + 1

d x d t = 1 × e - t + t × - 1 e - t + 0

d x d t = e - t - t e - t = e - t 1 - t

Essa é a mesma primeira derivada que encontramos para o x 1 , por isso não precisamos nem calcular a segunda derivada, já sabemos que ela vai ser igual a segunda derivada do x 1 que já foi calculada.

d 2 x d t 2 = e - t - 2 + t

Como a equação diferencial dada depende apenas das derivadas e as derivadas são idênticas as derivadas do x 1 que já provamos ser uma resposta da equação diferencial, podemos dizer que analogamente x = x 1 + x 2 também é uma resposta, pois o procedimento é o mesmo, só vou repeti-lo aqui embaixo:

Substituindo as derivadas na equação diferencial:

t - 1 d 2 x d t 2 + t - 2 d x d t = 0

t - 1 e - t - 2 + t + t - 2 e - t 1 - t = 0

Aplicando a distributiva:

e - t - 2 t + t 2 + 2 - t + e - t t - t 2 - 2 + 2 t = 0

e - t t 2 - 3 t + 2 + e - t - t 2 + 3 t - 2 = 0

e - t t 2 - t 2 - 3 t + 3 t + 2 - 2 = 0

e - t 0 = 0

0 = 0

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