Enunciado

Dada a equação diferencial não-linear

x d 2 x d t 2 - t d x d t = 0

Mostre que x 1 = t 2 e x 2 = 1 são soluções mas x 1 + x 2 não é uma solução.

Passo 1

People, o que vamos fazer aqui nessa questão é o que fizemos em várias outras nesse capítulo. Para provar que essas funções são respostas para a equação diferencial, vamos substituir as funções e as suas derivadas e ver se a igualdade da equação diferencial será mantida. E depois vamos substituir a função x 1 + x 2 e vamos provar que nesse caso ela não é uma solução pois a igualdade não será mantida,

Bora lá?

Passo 2

Começando por x 1 = t 2 , vamos calcular sua primeira e segunda derivada.

d x 1 d t = 2 t

d 2 x 1 d t 2 = 2

E agora, é só substituir na equação diferencial homogênea não-linear dada:

x 1 d 2 x 1 d t 2 - t d x 1 d t = 0

t 2 2 - t 2 t = 0

2 t 2 - 2 t 2 = 0

0 = 0

E pronto, mantivemos a igualdade da equação diferencial, provando que x 1 é uma solução.

Passo 3

Agora, vamos repetir o processo para x 2 = 1 , no entanto, esse caso é mais fácil, pois é uma constante e suas derivadas são zero:

d x 2 d t = 0

d 2 x 2 d t 2 = 0

Substituindo na equação diferencial, teremos:

x 2 d 2 x 2 d t 2 - t d x 2 d t = 0

1 0 - t 0 = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Opa, mantivemos a igualdade novamente!

Pra finalizar o exercício, no último passo, vamos verificar que x = x 1 + x 2 não é capaz de solucionar a equação diferencial não-linear dada.

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas de x = x 1 + x 2

x = t 2 + 1

d x d t = 2 t + 0 = 2 t

d 2 x d t 2 = 2

Substituindo na equação diferencial:

x d 2 x d t 2 - t d x d t = 0

t 2 + 1 2 - t 2 t = 0

2 t 2 + 2 - 2 t 2 = 0

2 = 0

E agora a igualdade da equação diferencial não foi mantida, e portanto, x = x 1 + x 2 não é uma solução da equação diferencial.

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