Enunciado

A Figura 10.132 mostra um circuito com a ponte de Wien. Demonstre que a frequência na qual o deslocamento de fase entre os sinais de entrada e de saída é zero é dado por f = 1 2 π R C , e que o ganho necessário é A v = V 0 / V i nessa frequência.

Passo 1

Galera, a primeira coisa que vamos fazer é achar as impedâncias equivalentes. No ramo onde temos um resistor e um capacitor em série, temos:

Z 3 = R + 1 j ω C = 1 + j ω C j ω C

No outro ramo, onde R e C são ligados em paralelo:

Z 4 = R × 1 j ω C R + 1 j ω C = R j ω C × 1 1 + j ω C j ω C

Z 4 = R j ω C × j ω C 1 + j ω C = R 1 + j ω c

Passo 2

Vamos usar o divisor de tensão para encontrar a tensão V a (mostrado na figura abaixo).

V a = Z 4 Z 4 + Z 3 V i

V a = R 1 + j ω C 1 + j ω C j ω C + R 1 + j ω C V i

V a = R 1 + j ω C 1 + j ω C 2 + j ω R C j ω C ( 1 + j ω C ) V i

V a = R 1 + j ω C × j ω C 1 + j ω C 1 + j ω C 2 + j ω R C V i

V a = j ω R C 1 + j 3 ω R C - ω 2 R 2 C 2 V i

Passo 3

Similarmente, pela divisão de tensão, nós podemos obter a tensão V b :

V b = R 2 R 2 + R 1 V i

A tensão de saída V 0 é dada por:

V 0 = V a - V b

Substituindo os valores:

V 0 = j ω R C 1 + j 3 ω R C - ω 2 R 2 C 2 V i - R 2 R 2 + R 1 V i

Como A V = V 0 V i ,

A V = j ω R C 1 + j 3 ω R C - ω 2 R 2 C 2 - R 2 R 2 + R 1

Passo 4

O deslocamento de fase entre os sinais de entrada e saída é zero quando o ganho é igual a um valor real, e isso ocorre quando:

1 - ω 2 R 2 C 2 = 0

ω = 1 R C

Como ω = 2 π f ,

2 π f = 1 R C → f = 1 2 π 1 R C

E o ganho nessa frequência se torna:

A V = 1 3 - R 2 R 2 + R 1

Pronto, conforme queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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