Enunciado

a) Mostre que

∫ - ∞ ∞ f t δ ' t - a d t = - f ' a

(Sugestão: integre por partes.)

b) Use a fórmula em (a) para mostrar que

L δ ' t = s .

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos continuar aqui integrando as funções dadas e fazendo aplicações para um caso específico. Considero essa questão bem tranquila porque o raciocínio é bastante direto. Tendo dito isto, vamos lá!

Passo 2

a)

Vamos seguir a orientação dada pelo autor e vamos integrar por partes. Infelizmente ele não diz o que vamos usar como u e d v , mas como o integrando é pequeno, podemos escolher um conjunto que seja fácil pra integrar. Primeiro, vamos lembrar qual é o mnemônico usado na integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, vamos escolher u = f ( t ) e d v = δ ' t - a d t . Assim, os outros dois valores são obtidos derivando e integrando, respectivamente: d u = f ' t d t   e v = δ ( t - a ) .

Então, só nos resta aplicar os 4 termos na fórmula da integral:

∫ - ∞ ∞ f t δ ' t - a d t = f t δ t - a t = - ∞ t = ∞ - ∫ - ∞ ∞ δ t - a f ' t d t

Aqui cabe três observações. A primeira é que formalmente temos que usar limites quando o limite de uma integral é infinito (positivo ou negativo). Aqui nas disciplinas de circuitos, nós temos um pouco de liberdade para omitirmos alguns passos e sermos mais objetivos, mas isso é apenas nessa disciplina, tá?

A segunda é que a função delta de dirac na forma δ ( t - t 0 ) tem valor 1 em t 0 e 0 nos demais valores de t . Assim, o primeiro termo no lado direito vale zero.

A terceira observação é que a integral do lado direito envolve um delta de dirac. O cálculo é bem simples: quando a função δ ( t - t 0 ) aparece no integrando, se t 0 ∈ [ a , b ] , onde a e b são os limites inferior e superior, respectivamente, o valor da integral é simplesmente o valor da função no ponto t 0 . Assim

∫ - ∞ ∞ δ t - a f ' t d t = f ' ( a )

Logo,

∫ - ∞ ∞ f t δ ' t - a d t = 0 - f ' a ∴ ∫ - ∞ ∞ f t δ ' t - a d t = - f ' a

Passo 3

b)

Bem, aqui o que temos que fazer é aplicar a definição:

L δ ' t = ∫ 0 - ∞ δ ' t e - s t d t

Lembrando da terceira observação do passo anterior, temos que esta integração vai nos dar o seguinte valor

∫ 0 - ∞ δ ' t e - s t d t = - e - s t ' t = 0 - - s ⋅ e - s t t = 0 = - ( - s ⋅ 1 )

∴   L δ ' t = s

Resposta

A demonstração

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