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Usando a Figura 8.9 3 , elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor a resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo.

Passo 1

Galerinha, vamos lá. Para fazer essa questão seria interessante atribuirmos valores para cara um dos componentes no circuito. Seja a fonte de tensão gerando 12 u t   V , o capacitor de 5   μ F , o indutor com 8   m H e o resistor com 2   k Ω . A primeira coisa que podemos fazer é transformar esse circuito em um RLC paralelo. Para isso, vamos realizar uma transformação de fonte, fazendo essa fonte de tensão em série com o resistor virar uma fonte de corrente em paralelo com o resistor. Assim, temos

I f o n t e = 12 2 × 10 3 = 6 m A

Assim, o nosso circuito passa a ser:

Para o instante t = 0 - , u t = 0 , logo, v 0 = 0 e i 0 = 0 .

Passo 2

A próxima coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de α e ω 0 e achar as raízes características:

α = 1 2 R C = 1 2 2 × 10 3 5 × 10 - 6 = 50

ω 0 = 1 L C = 1 8 × 10 - 3 5 × 10 - 6 = 5000

Como temos que α < ω 0 , a resposta do circuito é subamortecida. Assim,

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2 = - 50 ± j 5000

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i t = I s + A cos ⁡ 5000 t + B sin ⁡ 5000 t e - 50 t ,   o n d e   I s = 6   m A

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i 0 = 0 = 6 + A

A = - 6

A mesma análise inicial também foi feita para a tensão. Sabemos que, em t = 0 , v 0 = 0 . Como temos nossos três elementos do circuito em paralelo, todos eles estão sob a mesma tensão, ou seja

v R = v L = v C = v

Portanto, podemos escrever o seguinte:

v 0 = 0 = L d i 0 d t

Vamos calcular a derivada da corrente?

d i d t = 5000 - A sin ⁡ 5000 t + B cos ⁡ 5000 t e - 50 t + - 50 A cos ⁡ 5000 t + B sin ⁡ 5000 t e - 50 t

Quando t = 0 ,

d i 0 d t = 0 = 5000 B - 50 A

B = 50 - 6 5000

B = - 0,06   m A

Assim, nossa corrente tem a seguinte cara:

i t = 6 - 6 cos ⁡ 5000 t + 0,06 sin ⁡ 5000 t e - 50 t   m A

Resposta

Os valores para a corrente é

i t = 6 - 6 cos ⁡ 5000 t + 0,06 sin ⁡ 5000 t e - 50 t   m A

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