Exercícios Resolvidos de Equação de Laplace do Retângulo

UFRJ, Cálculo 4, PF 2014.2, Questão 4

Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x 0,1 u x 0 , y = 0 y 0,1 u x 1 , y = f y y 0,1   16 a 16 b 16 c 16 d

Onde f é uma função infinitamente diferenciável no intervalo 0,1

  1. Determine todas as soluções não triviais de 16 a - 16 b - 16 c na forma de u x , y = X x Y y
  2. Para que o problema 16 a - 16 b - 16 c - 16 d tenha solução é necessário que a integral

I = 0 1 f y d y

Tenha um valor específico. Supondo que existe uma solução u x , y do problema, use o formato da solução obtida pelo método de separação de variáveis para descobrir o valor de I .

Passo 1

a)

A primeira coisa que temos que fazer é achar a solução do problema

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x 0,1 u x 0 , y = 0 y 0,1

Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então

u x , y = X x Y y

Substituindo na EDP temos

X ' ' x Y y + X x Y ' ' y = 0

Agora vamos passar tudo com x para um lado e o que tem y no outro

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Essa igualdade vale para todo x e para todo y , assim λ precisa ser uma constante. Podemos separar isso em duas equações

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Agora vamos ver as condições do problema,

u y x , 0 = 0 X x 0 Y ' 0 = 0 Y ' 0 = 0

u y x , 1 = 0 X x 0 Y ' 1 = 0 Y ' 1 = 0

u x 0 , y = 0 X ' 0 Y y 0 = 0 X ' 0 = 0

Então temos

X ' ' - λ X = 0 X ' 0 = 0 Y ' ' + λ Y = 0 Y ' 0 = Y ' 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser

Y ' ' + λ Y = 0 Y ' 0 = Y ' 1 = 0

Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.

Isso nos diz que temos a seguinte equação característica

r 2 + λ = 0

Caso 1: > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 e - λ y + c 2 e - - λ y

Agora vamos usar as condições de contorno: Y ' 0 = 0 Y ' 1 = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de Y y

Y ' y = c 1 - λ e - λ y - c 2 - λ e - - λ y

Assim temos

Y ' 0 = c 1 - λ - c 2 - λ = 0

Y ' 1 = c 1 - λ e - λ - c 2 - λ e - - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = c 1

Substituindo na segunda equação

c 1 - λ e - λ - c 1 - λ e - - λ = 0

c 1 ( - λ e - λ - - λ e - - λ 0 ) = 0

c 1 = 0

E

c 2 = c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Y y = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 + c 2 y

Agora vamos usar as condições de contorno: Y ' 0 = 0 Y ' 1 = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de Y y

Y ' y = c 2

Assim temos

c 2 = 0

c 2 = 0

E a nossa solução vai ser

Y y = c 1

Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 e α y cos β y + c 2 e α y sen β y

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

Y y = c 1 cos λ y + c 2 sen λ y

Agora vamos usar as condições de contorno: Y ' 0 = 0 Y ' 1 = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de Y y

Y ' y = - c 1 λ sen λ y + c 2 λ cos λ y

Assim vamos ter

- c 1 λ sen λ 0 + c 2 λ cos λ 0 = 0

c 2 λ = 0

E

- c 1 λ sen λ 1 + c 2 λ cos λ 1 = 0

- c 1 λ sen λ + c 2 λ cos λ = 0

Assim vamos ter, pela primeira equação, como λ 0

c 2 = 0

Assim temos

- c 1 λ sen λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 1 = 0 , a solução é a trivial Y y = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3

λ = n π

λ n = n π 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

Y n y = cos n π y                 n = 1,2 , 3

Como achamos dois casos, vamos ter dois tipos de solução

Y 0 y = c 1 λ 0 = 0 n = 0 Y n y = cos n π y λ n = n π 2 n = 1,2 , 3 ,

Passo 3

Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em x , temos:

X ' ' - λ X = 0 X ' 0 = 0

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 - λ = 0

r = ± λ

Temos dois casos para λ , vamos começar fazendo

λ 0 = 0

Assim

r = 0

E a solução vai ser

X x = c 3 + x c 4

A condição dele vai ser

X ' 0 = 0

Derivando vamos ter

X ' x = c 4

Assim

c 4 = 0

E a nossa solução vai ser

X 0 x = c 3

Passo 4

Agora vamos para λ < 0 .

Assim as soluções são do tipo

X x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Com

r 1 = λ

r 2 = - λ  

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

X x = c 1 cosh r x + c 2 senh r x

Onde usualmente pegamos r como a raiz positiva.

Então, as soluções da EDO em x são:

X x = c 1 cosh n π x + c 2 senh n π x

Aplicando a condição X ' 0 = 0 , precisamos primeiro achar a sua derivada

X ' x = c 1 n π senh n π x + c 2 n π cosh n π x

Assim vamos ter

X ' 0 = c 1 n π senh 0 0 + c 2 n π cosh 0 1 = 0

Assim

c 2 n π = 0

c 2 = 0

Assim temos

X n x = c 1 cosh n π x

Podemos resumir as soluções de X

X 0 x = c 3 λ 0 = 0 n = 0 X n x = c 1 cosh n π x λ n = n π 2 n = 1,2 , 3 ,

Passo 5

Vamos juntar as soluções de X e Y para termos as soluções de u x , y , vamos juntar todas as constantes e chamar de c 0 ou c n , assim vamos ter

u 0 x , y = c 0 n = 0 u n x , y = c n cosh n π x cos n π y n = 1,2 , 3 ,

Passo 6

b)

Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das u n , temos que

u x , y = c 0 + n = 1 c n cosh n π x cos n π y

Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter

u x 1 , y = f y

Calculando a derivada em x de u

u x x , y = n = 1 c n n π senh n π x cos n π y

Assim temos

f y = n = 1 c n n π senh n π cos n π y

Opa achamos a nossa função f y , ele quer a integral de f y de 0 a 1 então vamos fazer isso, integrando f y em y de 0 à 1 .

0 1 f y d y = 0 1 n = 1 c n n π senh n π cos n π y

Podemos dar uma arrumada

0 1 f y d y = n = 1 c n n π senh n π 0 1 cos n π y d y

Resolvendo aquela integral, temos

0 1 f y d y = n = 1 c n n π senh n π sen n π y n π 0 1

0 1 f y d y = n = 1 c n n π senh n π sen n π . 1 n π - sen n π . 0 n π

0 1 f y d y = n = 1 c n n π senh n π sen n π n π - sen 0 n π

Lembrando que, para n inteiro

sen n π = 0

Assim

0 1 f y d y = n = 1 c n n π senh n π 0 - 0

0 1 f y d y = 0

Assim, como essa integral ele chamou de I , então

I = 0

Resposta

a)

u 0 x , y = c 0 n = 0 u n x , y = c n cosh n π x cos n π y n = 1,2 , 3 ,

b)

I = 0

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