Equação de Laplace do Retângulo

Teoria Completa

Introdução

Olá, galerinha! Se você voltar alguns tópicos, vai ver que passamos por problemas de equação de calor e de onda. Esses problemas envolviam equações com duas variáveis: uma espacial x e uma temporal t . Mas agora a história é diferente, vamos lidar com um problema em duas dimensões espaciais: x e y .

Neste tópico, a gente vai buscar descrever um fenômeno que acontece em um plano retangular. Por exemplo, se eu aqueço uma chapa retangular de metal por um tempo e após isso eu quero descobrir a distribuição desse calor nessa chapa, eu vou usar uma das equações diferenciais mais importantes da matemática que é a Equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

Ok, mas de onde vem essa equação? Ela pode vir de muitos problemas, aqui o que vai nos interessar mais é como resolvê-la. Mas se você estiver curioso, imagine um problema de calor dado em duas dimensões x e y :

α 2 u x x + u y y = u t t

Essa função descreve a temperature do retângulo em um dado ponto x , y , em um determinado instante t .

Deste modo, se quisermos encontrar uma solução estacionária para o problema (fazendo u t t = 0 ), chegamos à Equação de Laplace, percebeu?

Um ponto importante, como nós estamos falando Equação de Laplace do Retângulo, o nosso problema sempre nos dará 4 condições de contorno, que podem ser em:

u x , 0 → u m   p o n t o   q u a l q u e r   e m   x   e     a   e x t r m i d a d e   d o   r e t â n g u l o   e m   y = 0

u x , b → u m   q u a l q u e r   e m   x   e   a   e x t r m i d a d e   d o   r e t â n g u l o   e m   y = b

u 0 , y → u m   p o n t o   q u a l q u e r   e m   y   e     a   e x t r m i d a d e   d o   r e t â n g u l o   e m   x = 0

u a , y → u m   p o n t o   q u a l q u e r   e m   y   e   a   e x t r m i d a d e   d o   r e t â n g u l o   e m   x = a

Em geral, 3 dessas condições de contorno serão iguais a zero e a outra é dada por uma função f ( x ) ou f ( y ) .

Agora vamos resolver um exemplo para isso ficar mais claro!

Método de resolução

Agora vamos resolver esse exemplo:

u x x + u y y = 0

u x , 0 = 0

u x , b = 0

u 0 , y = 0

u a , y = f ( y )

Graficamente, olhando de cima, a gente consegue visualizar melhor o retângulo, já que estamos falando da equação de Laplace no retângulo:

Essas são as condições que o problema dá. Ele nos fornece o perfil de u ( x , y ) nas bordas do retângulo de lados a   e b e quer saber o que acontece no interior do retângulo. Em outras palavras, queremos encontrar a função u ( x , y ) , que é uma superfície que tem as “bordas” que o problema deu.

Agora que já visualizamos, vamos resolver a nossa Equação de Laplace passo a passo.

Passo 1: Separação de variáveis

Como queremos achar a solução para um plano, procuramos uma solução do tipo

u x , y = X x . Y ( y )

Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:

u x x + u y y = 0

X ' ' x Y ( y ) + X ( x ) Y ' ' y = 0

Agora nós passamos tudo que tem x para um lado e o que tem y para o outro:

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Como essa igualdade vale para todo x e para todo y , essas razões devem ser iguais a uma constante, λ .

Separando em duas equações, temos:

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições do problema:

u x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 Y 0 = 0       →       Y 0 = 0

u x , b = 0         →         X x ⏟ ≠ 0 Y b = 0       →       Y b = 0

u 0 , y = 0     →         X 0 Y ( y ) ⏟ ≠ 0 = 0       →       X 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que é uma função, nesse caso, u a , y = f ( y ) .

Então, temos o seguinte:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = 0 Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = Y b = 0

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = Y b = 0

Bom, esse problema já é conhecido, não é? A solução do problema de Dirichlet homogêneo é:

Y n y = sen ⁡ n π y b

λ n = π n b 2         n = 1,2 , 3 …

Passo 3: Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO:

Beleza, agora temos que resolver o problema em x , temos:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = 0

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 - λ = 0

r = ± λ

Agora temos uma novidade: já vimos que λ > 0 , quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:

X x = A e r 1 x + B e r 2 x

Uma pausa para um OBS: por definição de seno e cosseno hiperbólico temos:

cosh ⁡ ( x ) = e x + e - x 2

senh ⁡ ( x ) = e x - e - x 2

Deste modo, vamos representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma, porque isso vai simplificar um pouco a resposta depois (inclusive é mais usual):

X x = c 1 cosh ⁡ r x + c 2 senh ⁡ r x ,

Onde r aqui é a raiz positiva, ou seja, r = λ .

Então, as soluções da EDO em x são:

X x = c 1 cosh ⁡ n π x b + c 2 senh ⁡ n π x b

Aplicando a condição X 0 = 0 :

X 0 = c 1 cosh ⁡ 0 ⏟ 1 + c 2 senh ⁡ ( 0 ) ⏟ 0 = 0

c 1 = 0

Chegamos então a:

X n x = senh ⁡ n π x b

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , y = senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b

Passo 4: Escrever u ( x , y ) como série e achar os coeficientes da série

Como as combinações lineares de u n também são soluções do problema, temos que:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u a , y = f ( y ) .

u a , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ n π a b ⏟ coef.  da série sen ⁡ n π y b   = f y

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está na chave! O que depende apenas de n (não de y ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de f ( y ) , podemos dizer que:

b n senh ⁡ n π a b = 2 b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

Repare que o período da extensão é 2 b ! Por isso apareceram esses b ’s na integral, tome cuidado.

b n = 2 b senh ⁡ n π a b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série. Então, substituímos em:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

Pronto, essa é a resposta!

Só mais uma coisinha, em alguns problemas, x terá as duas condições de contorno e a outra será em y . Diferente do nosso problema. Por isso, é importante que você sempre se lembre de resolver primeiro o problema com duas condições de contorno. Tome cuidado com isso? Ok?

Vamos colocar aquele passo a passo esperto então? Partiu!

  1. Falar que a solução é do tipo u x , y = X x Y ( y )
  2. Colocar a forma apresentada no passo 1 dentro da equação de laplace
  3. Separar tudo que for função de y de um lado e o que for de x do outro
  4. Igualar tudo a λ
  5. Obter as EDO’s separadas: uma para Y y e outra para X ( x )
  6. Substituir a forma do passo 1 nas condições de contorno, lembrando que não queremos solução trivial!
  7. Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno!
  8. Estudar os casos de Δ , não podemos ter solução trivial! (aqui obtemos os autovalores, λ , e autofunções)
  9. Resolver a EDO que falta, introduzindo o valor de λ que você obteve no passo 8
  10. Fazer a combinação linear das soluções obtidas em 9 (vai aparecer a série de Fourier)
  11. Para obter o b n resolver a série de Fourier da condição inicial!

Vamos à prática agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 343. Exercício 1 a)

Encontre a solução u ( x , y ) da Equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno:

u 0 , y = 0 ,                 u a , y = 0                         0 < y < b

u x , 0 = 0 ,                 u x , b = g ( x )                         0 ≤ x ≤ a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos desenhar esse retângulo só para a gente entender melhor:

Essas são as condições que o problema dá.

Passo 2

Beleza, agora vamos fazer, como sempre, a separação de variáveis.

Procuramos uma solução do tipo u x , y = X x . Y ( y ) . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:

u x x + u y y = 0

X ' ' x Y ( y ) + X ( x ) Y ' ' y = 0

Agora nós passamos tudo que tem x para um lado e o que tem y para o outro:

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser iguais a uma constante. Separando em duas equações, temos:

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições homogêneas do problema (a função nós deixamos por último):

u x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 Y 0 = 0       →       Y 0 = 0

u a , y = 0         →         X ( a ) Y y ⏟ ≠ 0 = 0       →       X a = 0

u 0 , y = 0     →         X ( 0 ) Y ( y ) ⏟ ≠ 0 = 0       →       X 0 = 0

Então, temos o seguinte:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X a = 0 Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = 0

Passo 3

Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Como a função X ( x ) é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em x , temos:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X a = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 - λ = 0

r = ± λ

Vamos ver as soluções caso a caso agora.

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e λ x + c 2 e - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X a = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X a = c 1 e a λ + c 2 e - a λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e a λ - c 1 e - a λ = 0

c 1 ( e a λ - e - a λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X a = 0

X 0 = c 1 = 0

X a = c 1 + c 2 a = 0

Isso nos dá

c 2 a = 0

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± λ = 0 ± i - λ

X x = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 sen ⁡ - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X a = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X a = c 1 cos ⁡ a - λ + c 2 sen ⁡ a - λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ a λ - = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ a - λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

a - λ = n π             n = 1,2 , 3 …

- λ = n π a

λ n = - n π a 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x a                 n = 1,2 , 3 …

Passo 4

Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em y , temos:

Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = 0

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Já vimos que λ < 0 , não é? Quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:

Y y = c 1 e r 1 y + c 2 e r 2 y

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

Y y = c 1 cosh ⁡ ( r y ) + c 2 s e n h ( r y )

Então, as soluções da EDO em x são:

Y y = c 1 cosh ⁡ n π y a + c 2 s e n h n π y a

Aplicando a condição Y 0 = 0 :

Y 0 = c 1 cosh ⁡ 0 ⏟ 1 + c 2 s e n h 0 ⏟ 0 = 0

c 1 = 0

Chegamos então a:

Y n y = s e n h n π y a

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , y = s e n n π x a s e n h n π y a

Passo 5

Escrever u ( x , y ) como série e achar os coeficientes da série

Como as combinações lineares de u n também são soluções do problema, temos que:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a s e n h n π y a  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u x , b = g ( x ) .

u x , b = ∑ n = 1 ∞ b n s e n h n π b a ⏟ c o e f . d a   s é r i e   s e n n π x a = g ( x )

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está no colchete! O que depende apenas de n (não de x ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n s e n h n π b a = 2 a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Repare que o período da extensão é 2 a , não 2 L . Por isso apareceram esses a ’s na integral, tome cuidado. O a veio do denominador do seno.

b n = 2 a   s e n h n π b a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série e substituímos em

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a s e n h n π y a  

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a s e n h n π y a  

Onde

b n = 2 a   s e n h n π b a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo 4, PF 2014.2, Questão 4

Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y ∈ 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x ∈ 0,1 u x 0 , y = 0 y ∈ 0,1 u x 1 , y = f y y ∈ 0,1   16 a 16 b 16 c 16 d

Onde f é uma função infinitamente diferenciável no intervalo 0,1

  1. Determine todas as soluções não triviais de 16 a - 16 b - 16 c na forma de u x , y = X x Y y
  2. Para que o problema 16 a - 16 b - 16 c - 16 d tenha solução é necessário que a integral

I = ∫ 0 1 f y d y