Equação De Laplace No Retângulo

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre a equação de Laplace e sua aplicação em um retângulo.

Tá preparado? Então vem comigo!

Veja também

O que é a Equação de Laplace?

A Equação de Laplace é uma equação diferencial parcial usada em vários ramos da ciência. A fórmula para a equação de Laplace é essa aqui:

Mas como aqui estamos interessados no estudo somente para o retângulo, a equação que vamos usar é essa aqui:

Se você reparar, é a mesma coisa que a anterior, só que abrimos o somatório em duas dimensões (já que estamos falando de um retângulo).

Bora ver como resolver essa parada aí?!

Como resolver a equação de Laplace?

Como de praxe nos problemas de EDPs, o enunciado vai nos fornecer algumas condições de contorno que vão ser determinantes para nossa resolução.

Outro tópico que volta a aparecer também é a resolução de equações diferenciais por separação de variáveis.

Esse conteúdo nós já temos bem explicadinho aqui, então, se tiver precisando de uma revisada, corre lá que eu te espero 😁

Agora, se liga no exemplo:

Exemplo: Resolva com as condições de contorno propostas abaixo.

Essas condições de contorno aí são o que descreve o tal do retângulo. Olha só:

Retângulo delimitado pelas condições de contorno do problema.
Retângulo delimitado pelas condições de contorno do problema.

Repare como a figura é delimitada por uma condição de contorno em cada um de seus lados.

A ideia desse problema é encontrar a função u(x,y), que é uma superfície que tem as “bordas” fornecidas pelo problema. Daí que surge a ideia da equação de Laplace no retângulo 🙂

Agora, bora resolver esse negócio aí.

Passo 1: Separar as variáveis

Como queremos achar a solução para um plano, procuramos uma solução do tipo:

E essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace.

Passamos tudo que tem para um lado e o que tem para o outro:

Só que aí surge um detalhe: essa igualdade vale para todo e para todo . Então, na verdade, essas razões não dependem de nenhuma dessas variáveis! Quer dizer que a gente pode escrever tudo isso igual a uma constante:

Como constante aqui eu escolhi , mas você poderia escolher qualquer outra coisa.

Podemos separar essa igualdade em duas equações:

Olha só! Ficamos com duas EDOs de segunda ordem!

Beleza, vamos juntar todas as informações que temos até agora:

A segunda e quarta condições são encontradas quando aplicamos as condições iniciais do problema em , tranquilo?

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições.

Aqui, o é o cara que tem duas condições.

Isso aí é um problema de Dirichlet homogêneo! As soluções são desse tipo aqui:

Passo 3: Resolver a EDO que falta.

Tá faltando aquele problema em x:

Dessa vez, temos uma EDO de grau 2. Para resolvê-la, usamos o método da equação característica.

As soluções disso aí são:

Agora, a gente tem que lembrar lá da definição de seno e cosseno hiperbólicos:

Com isso, vamos representar a solução da EDO que encontramos da seguinte forma:

Agora, avaliamos :

No final de todas as contas, chegamos no seguinte:

Passo 4: Escrever como série e achar os coeficientes da série.

O que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à EDO em x e à EDO em y. Pela definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinações lineares também devem satisfazer às EDOs.

Para encontrar essa que apareceu aí, vamos usar a condição que esquecemos até agora: .

Essa é uma Série de Fourier de senos! Bora fazer uma expansão ímpar de g(x):

Depois de integrar, é só substituir naquela equação anterior:

O resultado será a solução do nosso problema!

Existem outros tipos de problemas, com o x com duas condições de contorno, por exemplo, mas os fundamentos permanecem os mesmos! Só é importante que você sempre resolva o problema com duas condições primeiro!

Segue para a parte de exercícios que te explico cada um dos casos lá, junto com um resuminho bastante útil 😉

Como resolver a equação de Laplace?

Exemplo: Resolva com as condições de contorno propostas abaixo.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre a solução u ( x , y ) da Equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno:

u 0 , y = 0 ,                 u a , y = 0                         0 < y < b

u x , 0 = 0 ,                 u x , b = g ( x )                         0 ≤ x ≤ a

Passo 1

Vamos desenhar esse retângulo só para a gente entender melhor:

Essas são as condições que o problema dá.

Passo 2

Beleza, agora vamos fazer, como sempre, a separação de variáveis.

Procuramos uma solução do tipo u x , y = X x . Y ( y ) . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:

u x x + u y y = 0

X ' ' x Y ( y ) + X ( x ) Y ' ' y = 0

Agora nós passamos tudo que tem x para um lado e o que tem y para o outro:

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser iguais a uma constante. Separando em duas equações, temos:

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições homogêneas do problema (a função nós deixamos por último):

u x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 Y 0 = 0       →       Y 0 = 0

u a , y = 0         →         X ( a ) Y y ⏟ ≠ 0 = 0       →       X a = 0

u 0 , y = 0     →         X ( 0 ) Y ( y ) ⏟ ≠ 0 = 0       →       X 0 = 0

Então, temos o seguinte:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X a = 0 Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = 0

Passo 3

Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Como a função X ( x ) é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em x , temos:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X a = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 - λ = 0

r = ± λ

Vamos ver as soluções caso a caso agora.

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e λ x + c 2 e - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X a = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X a = c 1 e a λ + c 2 e - a λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e a λ - c 1 e - a λ = 0

c 1 ( e a λ - e - a λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X a = 0

X 0 = c 1 = 0

X a = c 1 + c 2 a = 0

Isso nos dá

c 2 a = 0

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± λ = 0 ± i - λ

X x = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 sen ⁡ - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X a = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X a = c 1 cos ⁡ a - λ + c 2 sen ⁡ a - λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ a λ - = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ a - λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

a - λ = n π             n = 1,2 , 3 …

- λ = n π a

λ n = - n π a 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x a                 n = 1,2 , 3 …

Passo 4

Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em y , temos:

Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = 0

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Já vimos que λ < 0 , não é? Quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:

Y y = c 1 e r 1 y + c 2 e r 2 y

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

Y y = c 1 cosh ⁡ ( r y ) + c 2 s e n h ( r y )

Então, as soluções da EDO em x são:

Y y = c 1 cosh ⁡ n π y a + c 2 s e n h n π y a

Aplicando a condição Y 0 = 0 :

Y 0 = c 1 cosh ⁡ 0 ⏟ 1 + c 2 s e n h 0 ⏟ 0 = 0

c 1 = 0

Chegamos então a:

Y n y = s e n h n π y a

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , y = s e n n π x a s e n h n π y a

Passo 5

Escrever u ( x , y ) como série e achar os coeficientes da série

Como as combinações lineares de u n também são soluções do problema, temos que:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a s e n h n π y a  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u x , b = g ( x ) .

u x , b = ∑ n = 1 ∞ b n s e n h n π b a ⏟ c o e f . d a   s é r i e   s e n n π x a = g ( x )

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está no colchete! O que depende apenas de n (não de x ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n s e n h n π b a = 2 a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Repare que o período da extensão é 2 a , não 2 L . Por isso apareceram esses a ’s na integral, tome cuidado. O a veio do denominador do seno.

b n = 2 a   s e n h n π b a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série e substituímos em

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a s e n h n π y a  

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a s e n h n π y a  

Onde

b n = 2 a   s e n h n π b a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Exercício Resolvido #2

Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y ∈ 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x ∈ 0,1 u x 0 , y = 0 y ∈ 0,1 u x 1 , y = f y y ∈ 0,1   16 a 16 b 16 c 16 d

Onde f é uma função infinitamente diferenciável no intervalo 0,1

  1. Determine todas as soluções não triviais de 16 a - 16 b - 16 c na forma de u x , y = X x Y y
  2. Para que o problema 16 a - 16 b - 16 c - 16 d tenha solução é necessário que a integral

I = ∫ 0 1 f y d y

Tenha um valor específico. Supondo que existe uma solução u x , y do problema, use o formato da solução obtida pelo método de separação de variáveis para descobrir o valor de I .

Passo 1

a)

A primeira coisa que temos que fazer é achar a solução do problema

u x x x , y + u y y x , y = 0 x , y ∈ 0,1 × 0,1 u y x , 0 = u y x , 1 = 0 x ∈ 0,1 u x 0 , y = 0 y ∈ 0,1

Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então

u x , y = X x Y y

Substituindo na EDP temos

X ' ' x Y y + X x Y ' ' y = 0

Agora vamos passar tudo com x para um lado e o que tem y no outro

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Essa igualdade vale para todo x e para todo y , assim λ precisa ser uma constante. Podemos separar isso em duas equações

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Agora vamos ver as condições do problema,

u y x , 0 = 0 → X x ⏟ ≠ 0 Y ' 0 = 0 → Y ' 0 = 0

u y x , 1 = 0 → X x ⏟ ≠ 0 Y ' 1 = 0 → Y ' 1 = 0

u x 0 , y = 0 → X ' 0 Y y ⏟ ≠ 0 = 0 → X ' 0 = 0

Então temos

X ' ' - λ X = 0 X ' 0 = 0 Y ' ' + λ Y = 0 Y ' 0 = Y ' 1 = 0

Passo 2

Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser

Y ' ' + λ Y = 0 Y ' 0 = Y ' 1 = 0

Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.

Isso nos diz que temos a seguinte equação característica

r 2 + λ = 0

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 e - λ y + c 2 e - - λ y

Agora vamos usar as condições de contorno: Y ' 0 = 0 Y ' 1 = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de Y y

Y ' y = c 1 - λ e - λ y - c 2 - λ e - - λ y

Assim temos

Y ' 0 = c 1 - λ - c 2 - λ = 0

Y ' 1 = c 1 - λ e - λ - c 2 - λ e - - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = c 1

Substituindo na segunda equação

c 1 - λ e - λ - c 1 - λ e - - λ = 0

c 1 ( - λ e - λ - - λ e - - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

E

c 2 = c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Y y = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 + c 2 y

Agora vamos usar as condições de contorno: Y ' 0 = 0 Y ' 1 = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de Y y

Y ' y = c 2

Assim temos

c 2 = 0

c 2 = 0

E a nossa solução vai ser

Y y = c 1

Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 e α y cos ⁡ β y + c 2 e α y sen ⁡ β y

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

Y y = c 1 cos ⁡ λ y + c 2 sen ⁡ λ y

Agora vamos usar as condições de contorno: Y ' 0 = 0 Y ' 1 = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de Y y

Y ' y = - c 1 λ sen ⁡ λ y + c 2 λ cos ⁡ λ y

Assim vamos ter

- c 1 λ sen ⁡ λ 0 + c 2 λ cos ⁡ λ 0 = 0

c 2 λ = 0

E

- c 1 λ sen ⁡ λ 1 + c 2 λ cos ⁡ λ 1 = 0

- c 1 λ sen ⁡ λ + c 2 λ cos ⁡ λ = 0

Assim vamos ter, pela primeira equação, como λ ≠ 0

c 2 = 0

Assim temos

- c 1 λ sen ⁡ λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 1 = 0 , a solução é a trivial Y y = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n π

λ n = n π 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

Y n y = cos ⁡ n π y                 n = 1,2 , 3 …

Como achamos dois casos, vamos ter dois tipos de solução

Y 0 y = c 1 λ 0 = 0 n = 0 Y n y = cos ⁡ n π y λ n = n π 2 n = 1,2 , 3 , …

Passo 3

Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em x , temos:

X ' ' - λ X = 0 X ' 0 = 0

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 - λ = 0

r = ± λ

Temos dois casos para λ , vamos começar fazendo

λ 0 = 0

Assim

r = 0

E a solução vai ser

X x = c 3 + x c 4

A condição dele vai ser

X ' 0 = 0

Derivando vamos ter

X ' x = c 4

Assim

c 4 = 0

E a nossa solução vai ser

X 0 x = c 3

Passo 4

Agora vamos para λ < 0 .

Assim as soluções são do tipo

X x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Com

r 1 = λ

r 2 = - λ  

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

X x = c 1 cosh ⁡ r x + c 2 senh ⁡ r x

Onde usualmente pegamos r como a raiz positiva.

Então, as soluções da EDO em x são:

X x = c 1 cosh ⁡ n π x + c 2 senh ⁡ n π x

Aplicando a condição X ' 0 = 0 , precisamos primeiro achar a sua derivada

X ' x = c 1 n π senh ⁡ n π x + c 2 n π cosh ⁡ n π x

Assim vamos ter

X ' 0 = c 1 n π senh ⁡ 0 ⏟ 0 + c 2 n π cosh ⁡ 0 ⏟ 1 = 0

Assim

c 2 n π = 0

c 2 = 0

Assim temos

X n x = c 1 cosh ⁡ n π x

Podemos resumir as soluções de X

X 0 x = c 3 λ 0 = 0 n = 0 X n x = c 1 cosh ⁡ n π x λ n = n π 2 n = 1,2 , 3 , …

Passo 5

Vamos juntar as soluções de X e Y para termos as soluções de u x , y , vamos juntar todas as constantes e chamar de c 0 ou c n , assim vamos ter

u 0 x , y = c 0 n = 0 u n x , y = c n cosh ⁡ n π x cos ⁡ n π y n = 1,2 , 3 , …

Passo 6

b)

Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das u n , temos que

u x , y = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n cosh ⁡ n π x cos ⁡ n π y

Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter

u x 1 , y = f y

Calculando a derivada em x de u

u x x , y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π x cos ⁡ n π y

Assim temos

f y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π cos ⁡ n π y

Opa achamos a nossa função f y , ele quer a integral de f y de 0 a 1 então vamos fazer isso, integrando f y em y de 0 à 1 .

∫ 0 1 f y d y = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π cos ⁡ n π y

Podemos dar uma arrumada

∫ 0 1 f y d y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π ∫ 0 1 cos ⁡ n π y d y

Resolvendo aquela integral, temos

∫ 0 1 f y d y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π sen ⁡ n π y n π 0 1

∫ 0 1 f y d y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π sen ⁡ n π . 1 n π - sen ⁡ n π . 0 n π

∫ 0 1 f y d y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π sen ⁡ n π n π - sen ⁡ 0 n π

Lembrando que, para n inteiro

sen ⁡ n π = 0

Assim

∫ 0 1 f y d y = ∑ n = 1 ∞ c n n π senh ⁡ n π 0 - 0

∫ 0 1 f y d y = 0

Assim, como essa integral ele chamou de I , então

I = 0

Resposta

a)

u 0 x , y = c 0 n = 0 u n x , y = c n cosh ⁡ n π x cos ⁡ n π y n = 1,2 , 3 , …

b)

I = 0

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