Equação de Laplace do Retângulo

Teoria Completa

Introdução

Uma das equações diferenciais mais importantes da matemática é a Equação de Laplace:

u x x + u y y = 0

Tanto os problemas de calor como os de onda, que nós já vimos, são dados em termos de duas variáveis: uma espacial x e uma temporal t . Agora a história é diferente, estamos lidando com um problema em duas dimensões espaciais: x e y .

O que isso muda na nossa vida? Não muita coisa, você vai ver que o passo a passo que vamos seguir é basicamente o mesmo!

Ok, mas de onde vem essa equação? Ela pode vir de muitos problemas, aqui o que vai nos interessar mais é como resolvê-la. Mas se você estiver curioso, imagine um problema de calor dado em duas dimensões x e y :

α 2 u x x + u y y = u t t

Se quisermos encontrar uma solução estacionária para o problema (fazendo u t t = 0 ), chegamos à Equação de Laplace , percebeu?

Beleza, agora vamos ao que interessa: como são esses problemas que envolvem a Equação de Laplace? Esse tipo de problema nos dá 4 condições, que podem ser:

u x , 0

u ( x , b )

u 0 , y

u ( a , y )

Em geral, 3 dessas condições são iguais a zero e a outra é dada por uma função f ( x ) ou f ( y ) . Ok, mas o que esses dados significam? Vamos trazer isso para um gráfico para entender melhor, digamos u x , 0 = f ( x ) e as outras condições são zero. Temos o seguinte:

Esse problema nos dá, portanto, o perfil de u ( x , y ) nas bordas do retângulo de lados a   e b e quer saber o que acontece no interior do retângulo. Em outras palavras, queremos encontrar a função u ( x , y ) , que é uma superfície que tem as “bordas” que o problema deu. Nesse caso, teríamos algo assim:

Fica tranquilo que a gente vai trabalhar só com o 2D mesmo, isso aqui é só para você entender melhor a questão!

Esse é o caso de Laplace com condições de Dirichlet (o problema dá os valores de u ( x , y ) nas bordas), claro que podemos ter condições diferentes! A questão pode te dar por exemplo os valores das derivadas na borda, o passo a passo é o mesmo.

Método de resolução

Agora vamos resolver esse exemplo:

u x x + u y y = 0

u x , 0 = 0

u x , b = 0

u 0 , y = 0

u a , y = f ( y )

Graficamente, olhando de cima, temos o seguinte retângulo:

Essas são as condições que o problema dá.

Passo 1: Separação de variáveis

Bom, você já deve estar cansado de fazer isso né? Vamos lá, procuramos uma solução do tipo u x , y = X x . Y ( y ) . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:

X ' ' x Y ( y ) + X ( x ) Y ' ' y = 0

Agora nós passamos tudo que tem x para um lado e o que tem y para o outro:

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser iguais a uma constante. Aqui, diferente do que fizemos nos problemas de calor e de onda, colocamos + λ , não – λ porque o sinal dessa constante vai depender do problema. Frescura.

Separando em duas equações, temos:

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições do problema:

u x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 Y 0 = 0       →       Y 0 = 0

u x , b = 0         →         X x ⏟ ≠ 0 Y b = 0       →       Y b = 0

u 0 , y = 0     →         X ( 0 ) Y ( y ) ⏟ ≠ 0 = 0       →       X 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que é uma função, nesse caso, u a , y = f ( y ) .

Então, temos o seguinte:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = 0 Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = Y b = 0

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Como a função Y ( y ) é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em y , temos:

Y ' ' + λ Y = 0 Y 0 = Y b = 0

Bom, esse problema já é conhecido, não é? A solução do problema de Dirichlet homogêneo é:

Y n y = sen ⁡ n π y b

λ n = π n b 2         n = 1,2 , 3 …

Repare que, nos denominadores de Y e λ temos b e não L , pois a condição do problema é Y b = 0 . Da mesma forma que, nos capítulos anteriores, L era o comprimento da barra ou da corda em x , aqui b é o comprimento do lado do retângulo em y .

Passo 3: Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO:

Beleza, agora temos que resolver o problema em x , temos:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = 0

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 - λ = 0

r = ± λ

Agora temos uma novidade: já vimos que λ > 0 , não é? Quando encontramos seu valor no passo anterior. Então, as soluções dessa EDO são do tipo:

X x = A e r 1 x + B e r 2 x

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

X x = c 1 cosh ⁡ r x + c 2 senh ⁡ r x ,

Onde r aqui é a raiz positiva, ou seja, r = λ .

OBS: Isso porque a definição de seno e cosseno hiperbólico são as seguintes:

cosh ⁡ ( x ) = e x + e - x 2

senh ⁡ ( x ) = e x - e - x 2

Repare que:

cosh 2 ⁡ ( x ) - senh 2 ⁡ ( x ) = 1

E

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ ( x )

senh ⁡ ( x ) ' = cosh ⁡ ( x )

Essas relações são muito semelhantes com as trigonométricas entre seno e cosseno, um dos motivos de chamarmos essas funções de seno e cosseno hiperbólicos.

Então, as soluções da EDO em x são:

X x = c 1 cosh ⁡ n π x b + c 2 senh ⁡ n π x b

Aplicando a condição X 0 = 0 :

X 0 = c 1 cosh ⁡ 0 ⏟ 1 + c 2 senh ⁡ ( 0 ) ⏟ 0 = 0

c 1 = 0

Os valores de s e n h e c o s h nós sabemos olhando para suas definições, aquelas funções exponenciais. Porque diabos então não escrevemos direto como exponenciais? Porque isso vai simplificar um pouco a resposta depois.

Chegamos então a:

X n x = senh ⁡ n π x b

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , y = senh ⁡ n π x b sen ��� n π y b

Passo 4: Escrever u ( x , y ) como série e achar os coeficientes da série

Como as combinações lineares de u n também são soluções do problema, temos que:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u a . y = f ( y ) .

u a , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ n π a b ⏟ coef.  da série sen ⁡ n π y b   = f ( y )

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está no colchete! O que depende apenas de n (não de y ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de f ( y ) , podemos dizer que:

b n senh ⁡ n π a b = 2 b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

Repare que o período da extensão é 2 b , não 2 L ! Por isso apareceram esses b ’s na integral, tome cuidado.

b n = 2 b senh ⁡ n π a b ∫ 0 b f y sen ⁡ n π y b d y

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série. Então, substituímos em:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ n π x b sen ⁡ n π y b  

Pronto, essa é a resposta. Bem parecido com o que temos visto, não é?

Muito, mas tem um detalhe importante sobre os problemas de Equação de Laplace. Nos outros problemas a gente sempre resolvia a EDO em x primeiro, não era? Porque ela que tinha as duas condições de contorno, t sempre ficava por último. Aqui é diferente! Em alguns problemas, x terá as condições de contorno (duas condições) e em outro y terá. Por isso, é importante que você sempre se lembre de resolver primeiro o problema com duas condições de contorno. Tome cuidado com isso? Ok?

Vamos colocar aquele passo a passo esperto então? Partiu!

  1. Falar que a solução é do tipo u x , y = X x Y ( y )