Exercícios Resolvidos de Equação de Laplace em regiões infinitas

UFRJ - Cálculo 4 - P2 2012.1 - 4

Considere a equação de Laplace em coordenadas polares no domínio Ω = x , y ϵ   R 2 ; x 2 + y 2 9 ( Ω é dado pelo plano menos o disco de raio 3 ), com condição de contorno definida abaixo.

r 2 u r r + r u r + u θ θ = 0  

u 3 , θ = 2 + s e n ( 3 θ )

  1. Aplique separação de variáveis na equação e encontre as EDOs associadas ao problema acima.
  2. Encontre a solução limitada do problema.

Passo 1

a)

Bom, vamos utilizar o mesmo método de sempre. Devemos encontrar uma solução do tipo u θ , r = R r Θ θ . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos que:

r 2 R ' ' r Θ θ + r R ' r Θ θ + R ( r ) Θ ' ' θ = 0

Colocando Θ θ em evidência, temos que:

Θ θ ( r 2 R ' ' r + r R ' r ) = - R ( r ) Θ ' ' θ

Assim, passando R r para a esquerda e Θ θ para a direita, encontramos:

r 2 R ' ' r + r R ' r R = - Θ ' ' θ Θ θ =   λ

Como essa igualdade vale para todo r e para todo θ , essas razões devem ser iguais a uma constante.

Vamos ter que resolver então as duas equações diferenciais:

r 2 R ' ' r + r R ' ( r ) - λ R = 0

Θ ' ' θ + λ   Θ θ = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar 3 casos para os valores de   λ :

Caso 1:   λ < 0

Se   λ < 0 , então ele pode ser escrito da seguinte forma:

λ = - μ 2 ,   o n d e   μ > 0

Assim: Θ ' ' ( θ ) - μ 2   Θ θ = 0

A equação característica é r 2 - μ 2 = 0

E portanto a solução vale:

Θ θ = A e μ θ + B e - μ θ

Se você não lembra disso, não se preocupe, basta revisar os capítulos anteriores.

Continuando na resolução do problema, observamos que não temos uma função trigonométrica, e portanto esta função apenas será periódica de período 2 π se A = B = 0 . Como esta é a solução trivial, λ não pode ser negativo.

Caso 2:   λ = 0

Para λ = 0 , Θ ' ' θ = 0

Assim, Θ θ = c 1 + c 2 θ

Para que esta função seja periódica, c 2 deve ser igual a zero, e portanto temos que Θ θ = c 1 , ou seja , Θ θ é uma função constante. Lembra que falamos no início que função constante é válida como solução de Θ θ ?

Agora vamos analisar λ = 0 na equação de R r . Com λ = 0 ,   a equação ficará da seguinte forma:

r 2 R ' ' r + r R ' ( r ) = 0

Essa é uma equação de Euler ( não precisa ficar assustado rs). A solução dessa equação vale:

R r = k 1 + k 2 l n ( r )

Gurde esse resultado. Daqui a pouco vamos analisar novamente R ( r ) para o caso em que λ = 0 .

Caso 3:   λ > 0

Se λ > 0 , então ele pode ser escrito da forma: λ =   μ 2 . Substituindo nas equações diferenciais:

r 2 R ' ' r + r R ' r - μ 2 R = 0

Θ ' ' θ + μ 2   Θ θ = 0

A primeira equação é uma equação de Euler ( novamente, não se assustem!). A solução dessa equação é:

R r = k 1 r μ + k 2 r - μ

A equação de Θ θ é mais tranquila não é mesmo? Já estamos acostumados a resolvê-la. Sua solução vale:

Θ θ = A s e n μ θ + B c o s ( μ θ )

Porém Θ θ deve ser periódica de período 2 π . E quando isso vai acontecer?

Devemos ter que Θ θ = Θ θ + 2 π . Para que isso aconteça é necessário que μ seja um inteiro positivo n .

Passo 3

Agora que já sabemos quais são as soluções para cada valor de λ , devemos analisar o que foi dito no problema. Observe que foi dito que u r , θ está bem definida e é limitada para r > a , ou seja, para todo   r > a , inclusive no infinito e portanto u r , θ é limitada quando r . Isso vai nos ajudar, e muito!

Primeiramente vamos analisar a equação de R ( r ) encontrada para λ=0:

R r = k 1 + k 2 l n ( r )

Quando r , então o termo k 2 l n ( r ) tende a infinito. Porém, vimos que u r , θ é limitada no infinito. Assim, obrigatoriamente, k 2 = 0 .   Como foi encontrado par a   Θ θ que ela será constante para λ = 0 e R ( r ) também é uma constante, então as soluções fundamentais para λ = 0 , valem:

u 0 r , θ = 1

Agora vamos analisar a seguinte equação encontrada para λ>0:

R r = k 1 r μ + k 2 r - n

Como u r , θ é limitada, então R r também deve ser. Assim, como μ é um número inteiro positivo, quando r o termo k 1 r μ , o que não pode acontecer. Assim, obrigatoriamente, k 1 deve ser igual a zero. Já tínhamos encontrado as soluções de Θ θ ,   que vale:

Θ θ = A s e n μ θ + B c o s ( μ θ )

Portanto, as soluções fundamentais valem:

u r , θ = Θ θ   R r

Substituindo:

u r , θ = r - n s e n μ θ

v r , θ = r - n c o s μ θ

Passo 4

Assumimos que u r , θ pode ser escrita como uma combinação linear de soluções fundamentais. Assim:

u r , θ = c 0 2 + n = 1 r - n ( c n cos n θ   + k n sen n θ )

Ufa, estamos quase chegando ao fim. Agora basta apenas determinar os coeficientes da série de Fourier. Para isso, vamos utilizar uma informação que é dada no problema:

u 3 , θ = 2 + s e n ( 3 θ )

Substituindo r por   3 , temos que:

2 + s e n ( 3 θ ) = c 0 2 + n = 1 3 - n ( c n cos n θ   + k n sen n θ )

Passo 5

Mas veja que para essa série ser igual a função temos que respeitar as duas condições abaixo:

2 = c 0 2 sen 3 θ = 3 - 3 k n sen 3 θ

Assim concluímos que:

c 0 = 4 k 3 = 3 3 k n = 0 ,   n 3 c n = 0

Resposta

c 0 = 4 k 3 = 3 3 k n = 0 ,   n 3 c n = 0

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