Equação de Laplace em regiões infinitas

Teoria Completa

Introdução

Vimos as aplicações de EDP’s somente para regiões finitas, não é mesmo? Mas e para regiões infinitas será que é possível modelar com a utilização de EDP’s? Vamos ver que é possível e é bem semelhante ao já estudado anteriormente.

Vamos ver neste capítulo a Equação de Laplace para regiões infinitas! Calma, não se assustem. Você verá que a diferença estará basicamente nas condições de contorno.

Vimos anteriormente que a equação de Laplace para regiões bidimensionais é da seguinte forma:

u x x + u y y = 0

Qual será a diferença então? Não teremos mais um retângulo, mas sim uma região semelhante a ele, porém infinita em uma das direções, ou seja, pode ser infinito na direção x ou y .

Você deve estar se perguntando como resolver esse tipo de questão. Bom, diferentemente do caso de regiões finitas, poderá ser dada alguma informação das bordas quando x ou y tende a infinito (vai depender do tipo de questão). Assim, pode ser dado, por exemplo, um limite, ou seja, o valor para o qual u ( x , y ) tende quando x ou y   tende a infinito.

Outra informação importante é que neste tipo de questão sempre estaremos trabalhando com a hipótese de funções limitadas no infinito, ou seja, o valor de X ( x ) ou Y ( y ) deve ser limitado. Assim, mesmo que não seja dado o limite de u ( x , y ) no infinito, este valor é obrigatoriamente um número finito.

Para entender melhor, observe a figura a seguir:

Veja que temos uma faixa semi-infinita na direção y . Assim, na resolução de um algum problema que envolva essa região ele pode, por exemplo, dizer qual o valor que u ( x , y ) tende quando y → ∞ .

Método de resolução

Agora vamos resolver esse exemplo:

u x x + u y y = 0

u x , 0 = f ( x )

u 0 , y = 0

u a , y = 0

u x , y → 0   q u a n d o   y → ∞

y > 0

0 ≤ x ≤ a

Essas são as condições que o problema dá. Veja que foi dito que u x , y → 0   q u a n d o   y → ∞ , ou seja ,foi dada informação de u x , y quando y → ∞ .

Passo 1: Separação de variáveis

Bom, vamos utilizar o mesmo método de sempre. Devemos encontrar uma solução do tipo u x , y = X x . Y ( y ) . Como essa solução deve satisfazer a Equação de Laplace, temos:

X ' ' x Y ( y ) + X ( x ) Y ' ' y = 0

Agora nós passamos tudo que tem x para um lado e o que tem y para o outro:

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y = λ

Assim, encontramos as seguintes equações características:

X ' ' - λ X = 0

Y ' ' + λ Y = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições do problema:

u a , y = 0         →         X ( a ) Y ( y ) ⏟ ≠ 0 = 0       →       X a = 0

u 0 , y = 0     →         X ( 0 ) Y ( y ) ⏟ ≠ 0 = 0       →       X 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que é uma função, nesse caso, u x , 0 = f ( x ) .

Então, temos o seguinte:

                X ' ' - λ X = 0 X 0 = 0                               X a = 0 Y ' ' + λ Y = 0 u x , y → 0   q u a n d o   y → ∞  

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Como a função X ( x ) é a que possui duas condições de contorno, vamos resolver primeiro o problema em x , temos então:

X ' ' - λ X = 0 X 0 = X a = 0

Já vimos este tipo de problema anteriormente e a solução vale:

X n ( x ) = sen ⁡ n π a x

Se você não lembra, não se preocupe, vou mostrar novamente o passo a passo para chegar nessa solução:

Esta equação tem solução apenas para λ < 0 . Assim podemos dizer que λ =   - μ 2 .   Portanto, a equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 + μ 2 = 0

r = ± i μ

Assim, a equação geral vale:

X x = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

Aplicando as condições de contorno:

X 0 = 0   → c 1 = 0 ,   p o i s :

c 1 ⁡ c o s ( 0 ) ⏟ = 1 + c 2 s e n 0 = 0 , = 0

e

X a = 0   → μ = n π a ,   p o i s :

c 2 senh ⁡ μ a = 0 ,   q u e   a c o n t e c e   q u a n d o     μ a = n π

Assim, a solução do problema é:

X n ( x ) = sen ⁡ n π a x

Como nesta questão λ =   - μ 2 , então:

λ n = - π n a 2         n = 1,2 , 3 …

Repare que, nos denominadores de X e λ temos a e não L , pois a condição do problema é X a = 0 . Da mesma forma que, nos capítulos anteriores, L era o comprimento da barra ou da corda em x , aqui a é o comprimento do lado do retângulo em x .

Passo 3: Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em y , temos:

Y ' ' + λ Y = 0 u x , y → 0   q u a n d o   y → ∞

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Já vimos que λ < 0 , não é? Então, as soluções dessa EDO são do tipo:

Y x = A e - n π a y + B e n π a y

Aplicando a condição u x , y → 0   q u a n d o   y → ∞ ,   temos que tomar cuidado, uma vez que quando y → ∞ o termo B e n π a y tende a infinito, o que não está de acordo com o queremos. Queremos que u x , y → 0   q u a n d o   y → ∞ ! Assim, B deverá ser igual a zero e, portanto a solução fundamental será da forma:

Y n ( y ) = e - n π a y

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , y = sen ⁡ n π x b e - n π a y ,   n = 0,1 , 2,3 …

Passo 4: Escrever u ( x , y ) como série e achar os coeficientes da série

Como as combinações lineares de u n também são soluções do problema temos que:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ c n sen ⁡ n π x b e - n π a y  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u x , 0 = f ( x ) .

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ c n e - n π a 0   ⏟ = 1 ⏟ coef.  da série sen ⁡ n π x b   = f ( x )

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está no colchete! Ou seja, que não depende de x .Reescrevendo, temos que:

f x = ∑ n = 1 ∞ c n sen ⁡ n π x b  

Se f ( x ) e f ' x são seccionalmente contínuas, então essa é uma Série de Fourier de senos. Fazendo uma extensão ímpar de f ( y ) , podemos dizer que:

c n = 2 a ∫ 0 a f x sen ⁡ n π x a d x ,   n = 0,1 , 2,3 …

Repare que o período da extensão é 2 a , não 2 L ! Por isso apareceram esses a ’s na integral, tome cuidado. O a veio do denominador do seno. Dessa forma, encontramos os coeficientes c n da série. Então, substituímos em:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ c n sen ⁡ n π x a e - n π a y  

Pronto, essa é a resposta. Bem parecido com o que temos visto, não é?

Análise Geral

Agora que já analisamos regiões infinitas no retângulo, vamos considerar o caso da equação de Laplace no disco para regiões infinitas. Novamente, será muito parecido com o que foi apresentado antes, o que vai mudar serão apenas as condições de contorno. Antes nós estávamos preocupados com a região interior ao disco, agora queremos a parte exterior a ele, ou seja, uma região ilimitada. Vamos relembrar a equação de Laplace para discos:

r 2 ∂ 2 u ∂ r 2 + r ∂ u ∂ r + ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0