Exercícios Resolvidos de Estabilidade e critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Caracterize a malha abaixo quanto à sua estabilidade:

Passo 1

Primeiramente, vamos definir a função de transferência equivalente da malha, para que possamos encontrar a nossa equação característica.

Como esse é aquele diagrama feedback mais comum, a função de transferência será:

C s R s =   3 2 s + 1 2 s + 1 s + 2 1 s + 1 s + 3 1 + 3 2 s + 1 2 s + 1 s + 2 1 s + 1 s + 3 3  

Caso você tenha dúvidas em como obter essa expressão, dá uma revisadinha na aula de álgebra de diagrama de blocos.

Como a equação característica é sempre o denominador da função de transferência, nossa equação característica será:

1 + 3 2 s + 1 2 s + 1 s + 2 1 s + 1 s + 3 3 = 0

Vamos então rearranjar essa equação para conseguir usar o critério de Routh-Hurwitz. Multiplicando toda a equação pelo denominador:

2 s + 1 s + 2 s + 1 s + 3 + 18 s + 1 = 0  

Fazendo as multiplicações:

2 s 4 + 13 s 3 + 28 s 2 + 41 s + 24 = 0

Por fim, devemos substituir os termos no diagrama de Routh-Hurwitz, conforme o modelo:

Passo 2

Substituindo os termos nas duas primeiras linhas:

E vamos calcular os termos da terceira linha conforme as fórmulas:

b 1 = a 3 a 2 - a 4 a 1 a 3 = 13 28 - 2 41 13 = 21,7

b 2 = a 3 a 0 - a 4 a - 1 a 3 = 13 24 - 2 0 13 = 24

b 3 = 0

Colocando esses resultados no diagrama:

Passo 3

Vamos passar então para a quarta linha:

c 1 = b 1 a 1 - a 3 b 2 b 1 = 21,7 41 - 13 24 21,7 = 26,6

c 2 = b 1 a - 1 - a 3 b 3 b 1 = 21,7 0 - 13 0 21,7 = 0

c 1 = 0

Então:

Passo 4

Para finalizar. Calculamos os coeficientes das duas últimas linhas:

d 1 = 26,6 24 - 21,7 0 26,6 = 24

d 2 = 0

e 1 = 12 0 - - 6,375 0 12 = 0

Completando nosso diagrama:

Resposta

O sistema é estável porque não existe mudança de sinal na primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz.