Exercícios Resolvidos de Estabilidade e critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Defina a estabilidade do sistema representado pela malha feedback abaixo:

Passo 1

O primeiro passo, sempre que queremos determinar a estabilidade de uma malha, é encontrar a equação característica da malha. Para esse sistema, como estamos trabalhando com um feedback clássicozão, a função de transferência ficará assim:

C s R s =   3 2 s + 1 2 s + 1 s - 5 1 s + 1 s + 3 1 + 3 2 s + 1 2 s + 1 s - 5 1 s + 1 s + 3 3  

Caso você tenha dúvidas em como obter essa expressão, dá uma revisadinha na aula de álgebra de diagrama de blocos.

Nós precisamos da equação característica, e ela sempre será o denominador da função de transferência. Então:

1 + 3 2 s + 1 2 s + 1 s - 5 1 s + 1 s + 3 3 = 0

Passo 2

Vamos então deixar essa equação mais bonitinha pra gente poder pensar melhor sobre a estabilidade. Multiplicando toda a equação pelo denominador:

2 s + 1 s - 5 s + 1 s + 3 + 18 s + 1 = 0

Fazendo as multiplicações:

2 s 4 - s 3 - 35 s 2 - 29 s + 3 = 0

Passo 3

Agora que já temos a nossa equação característica, poderíamos determinar a estabilidade dela pelo critério de Routh-Hurwitz. Entretanto, só de olhar pra carinha dela, já conseguimos ter um spoiler da nossa resposta.

O critério dos coeficientes diz que para o sistema ser estável, a sua equação característica precisa ter todos os sinais iguais.

Nesse caso, o critério não foi atendido. Portanto o sistema é instável.

Obs: só lembrando que esse critério é necessário, porém não suficiente.

Resposta

O sistema é instável de acordo com o critério dos coeficientes.