Exercícios Resolvidos de Estabilidade e critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Determine se o sistema abaixo é estável:

Passo 1

Primeiro precisamos definir nossa equação característica. Já vimos que para o feedback unitário, a equação característica fica da seguinte forma:

1 + G 1 s G 2 s = 0

Onde G 1 s e G 2 ( s ) são os blocos do diagarama. Então:

1 + 2 s s + 3 10 s + 1 2 = 0

Rearranjando:

s s + 3 s + 1 2 + 20 = 0

s s + 3 ( s 2 + 2 s + 1 ) + 20 = 0

s s 3 + 5 s 2 + 7 s + 3 + 20 = 0

s 4 + 5 s 3 + 7 s 2 + 3 s + 20 = 0

Com a nossa equação característica em mãos, só precisamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para definir a estabilidade:

Passo 2

Vamos substituir os termos no diagrama então:

E vamos calcular os termos da terceira linha conforme as fórmulas:

b 1 = a 3 a 2 - a 4 a 1 a 3 = 5 7 - 1 3 5 = 6,4

b 2 = a 3 a 0 - a 4 a - 1 a 3 = 5 20 - 1 0 5 = 20

b 3 = 0

Vamos colocar esses termos no diagrama:

Passo 3

Vamos passar então para a quarta linha:

c 1 = b 1 a 1 - a 3 b 2 b 1 = 6,4 3 - 5 20 6,4 = - 12,625

c 2 = b 1 a - 1 - a 3 b 3 b 1 = 6,4 0 - 5 0 6,4 = 0

c 1 = 0

Então:

Passo 4

Para finalizar. Calculamos os coeficientes das duas últimas linhas:

d 1 = - 12,625 20 - 6,4 0 - 12,625 = 20

d 2 = 0

e 1 = 20 0 - - 12,625 0 20 = 0

Completando nosso diagrama:

Resposta

O sistema é instável porque existe mudança de sinal na primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz.