[0,75 p t s] Uma EDO linear de primeira ordem é da forma y^{\prime}+p(x) y= g(x) e para resolve-la deve-se achar primeiramente o fator integrante dado por \mu(x)=e^{\int p(x) d x} e depois use a regra do produto de Leibniz que afirma que (\mu(x) \cdot y)^{\prime}=\mu(x) \cdot g(x). Resolva a seguinte EDO:
\mathrm{EDO}: \frac{d y}{d x}-\frac{1}{x} y=-x, x>0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{x}y=-x,\qquad x>0.
Informações e pedidos claros:
  • A equação é da forma y'+p(x)y=g(x) com p(x)=-\dfrac{1}{x} e g(x)=-x.
  • O domínio x>0 garante que \ln x e expressões com x no denominador são bem definidas.
  • Objetivo: achar a solução geral y(x).

Passo 2

Lembrete do método do fator integrante (explicando devagar, sem pressa):
  • Para uma EDO linear de primeira ordem y'+p(x)y=g(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • A razão de escolher \mu é que ela satisfaz \mu'(x)=p(x)\mu(x), e então a equação multiplicada por \mu fica na forma da derivada de um produto:
(\mu(x)\,y(x))'=\mu(x)\,g(x).
Isso permite integrar diretamente. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Calcular o fator integrante usando p(x)=-\dfrac{1}{x}.
Primeiro a integral
\int p(x)\,dx=\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln x,
válido porque x>0. Agora
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{-\ln x}.
Usando a propriedade e^{\ln a}=a (e e^{-\ln x}=(e^{\ln x})^{-1}=x^{-1}) obtemos
\mu(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicar a EDO original por \mu(x)=\dfrac{1}{x}.
A equação original é
y'-\frac{1}{x}y=-x.
Multiplicando por \dfrac{1}{x}
\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}y=-1.
Agora vemos por que \mu foi escolhida: usando a regra do produto (Leibniz),
\left(\frac{1}{x}y\right)'=\frac{1}{x}y'+\left(\frac{1}{x}\right)'y.
Calculando \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2} e notando que -\dfrac{1}{x^2}=\left(-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}=p(x)\mu(x), concluímos que a combinação coincide com o lado esquerdo que obtivemos. Assim podemos escrever compactamente
\left(\frac{1}{x}y\right)'=-1.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x.
Integrando a igualdade do passo anterior:
\int \left(\frac{1}{x}y\right)'\,dx=\int -1\,dx.
A integral da derivada dá a função original, e a integral do lado direito é imediata. Logo
\frac{1}{x}y=-x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y para ter a solução explícita.
Multiplicando ambos os lados por x obtemos
y=x\bigl(-x+C\bigr)=-x^{2}+Cx.
Podemos escrever a solução geral de forma mais usual como
y(x)=C x - x^{2},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação de que não deu bobeira):
Calcular y' a partir de y(x)=C x - x^{2}:
y'(x)=C-2x.
Substituir na EDO:
y'-\frac{1}{x}y=(C-2x)-\frac{1}{x}(Cx-x^{2})=(C-2x)-(C - x)=-2x+x=-x,
que coincide com o lado direito da EDO. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=C x - x^{2}

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