Uma EDO linear de primeira ordem é da forma
e para resolve-la deve-se achar primeiramente o fator integrante dado por
e depois use a regra do produto de Leibniz que afirma que
. Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
Informações e pedidos claros:
- A equação é da forma
com e . - O domínio
garante que e expressões com no denominador são bem definidas. - Objetivo: achar a solução geral
.
Passo 2
Lembrete do método do fator integrante (explicando devagar, sem pressa):
- Para uma EDO linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
- A razão de escolher
é que ela satisfaz , e então a equação multiplicada por fica na forma da derivada de um produto:
Isso permite integrar diretamente. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Calcular o fator integrante usando
.
Primeiro a integral
Primeiro a integral
válido porque
. Agora
Usando a propriedade
(e
) obtemos
Passo 4
Multiplicar a EDO original por
.
A equação original é
A equação original é
Multiplicando por
dá
Agora vemos por que
foi escolhida: usando a regra do produto (Leibniz),
Calculando
e notando que
, concluímos que a combinação coincide com o lado esquerdo que obtivemos. Assim podemos escrever compactamente
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
.
Integrando a igualdade do passo anterior:
Integrando a igualdade do passo anterior:
A integral da derivada dá a função original, e a integral do lado direito é imediata. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
para ter a solução explícita.
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Multiplicando ambos os lados por
Podemos escrever a solução geral de forma mais usual como
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação de que não deu bobeira):
Calcular a partir de
:
Calcular
Substituir na EDO:
que coincide com o lado direito da EDO. Portanto a solução está correta.