[0, 75pts] Considere a seguinte EDO de primeira ordem:
\mathrm{EDO}: \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x} .
Use a substituição do tipo u=\frac{y}{x} para encontrar a solução implícita da EDO acima.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x},
e orienta usar a substituição \,u=\dfrac{y}{x}\,. O que o problema pede é encontrar a solução implícita da EDO usando essa substituição. Informações relevantes dadas:
  • A EDO é \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y-x}{y+x}.
  • A substituição indicada é u=\dfrac{y}{x} (portanto x\neq0 no domínio considerado).
  • Devemos retornar uma solução implícita envolvendo x e y.

Passo 2

Vamos aplicar a substituição e transformar a EDO. Definindo
u=\frac{y}{x},
temos y=u x. Diferenciando y=u x em relação a x usamos a regra do produto; obtém-se
\frac{d y}{d x}=u+x\frac{d u}{d x}.
Explico isso devagar: quando y depende de x via u(x) e x, a derivada é \dfrac{d}{dx}(u(x)\cdot x)=u'(x)\cdot x + u(x)\cdot 1, que reescrevemos como x\frac{du}{dx}+u.

Passo 3

Substituímos essa expressão na EDO original. O lado direito também pode ser simplificado usando y=ux:
u+x\frac{d u}{d x}=\frac{ux-x}{ux+x}.
No lado direito fatoramos x:
\frac{ux-x}{ux+x}=\frac{x(u-1)}{x(u+1)}=\frac{u-1}{u+1}.
Portanto a equação fica
u+x\frac{d u}{d x}=\frac{u-1}{u+1}.

Passo 4

Isolamos \dfrac{du}{dx}. Subtraindo u dos dois lados:
x\frac{d u}{d x}=\frac{u-1}{u+1}-u.
Agora vamos colocar o lado direito sobre um denominador comum (u+1):
\frac{u-1}{u+1}-u=\frac{u-1-u(u+1)}{u+1}=\frac{u-1-u^2-u}{u+1}=\frac{-u^2-1}{u+1}.
Isso pode ser escrito como
x\frac{d u}{d x}=-\frac{u^2+1}{u+1}.
Dividindo por x (e lembrando que x\neq0) obtemos
\frac{d u}{d x}=-\frac{u^2+1}{(u+1)x}.

Passo 5

Agora separamos variáveis para integrar. Reescrevendo:
\frac{u+1}{u^2+1}\,du=-\frac{dx}{x}.
Explico a separação: trazemos tudo que depende de u para o lado esquerdo e tudo que depende de x para o lado direito; assim cada integral fica em uma única variável.
Integramos os dois lados. No lado esquerdo dividimos a integral:
\int\frac{u+1}{u^2+1}\,du=\int\frac{u}{u^2+1}\,du+\int\frac{1}{u^2+1}\,du.
As integrais conhecidas são:
\int\frac{u}{u^2+1}\,du=\frac{1}{2}\ln\!\big(u^2+1\big), \qquad \int\frac{1}{u^2+1}\,du=\arctan(u).
No lado direito:
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Somando os resultados obtemos
\frac{1}{2}\ln\!\big(u^2+1\big)+\arctan(u)=-\ln|x|+C.

Passo 6

Vamos limpar a expressão e voltar a y. Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
\ln\!\big(u^2+1\big)+2\arctan(u)=-2\ln|x|+C',
com C'=2C. Podemos juntar os logaritmos:
\ln\!\big((u^2+1)x^2\big)+2\arctan(u)=C'.
Agora substituímos u=\dfrac{y}{x}. Observe que
(u^2+1)x^2=\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)x^2=y^2+x^2.
Portanto a solução implícita fica
\ln\!\big(x^2+y^2\big)+2\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=C',
onde C' é uma constante arbitrária. Observações de domínio: usamos x\neq0 na substituição u=y/x e a EDO original exige também y\neq -x para que o denominador y+x não seja zero; a solução implícita acima é válida nos ramos onde essas condições se mantêm.

Resposta

\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big)+2\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=C

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