[0, 75pts] Considere a seguinte EDO de primeira ordem:
Use a substituição do tipo
para encontrar a solução implícita da EDO acima.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e orienta usar a substituição
. O que o problema pede é encontrar a solução implícita da EDO usando essa substituição. Informações relevantes dadas:
- A EDO é
. - A substituição indicada é
(portanto no domínio considerado). - Devemos retornar uma solução implícita envolvendo
e .
Passo 2
Vamos aplicar a substituição e transformar a EDO. Definindo
temos
. Diferenciando
em relação a
usamos a regra do produto; obtém-se
Explico isso devagar: quando
depende de
via
e
, a derivada é
, que reescrevemos como
.
Passo 3
Substituímos essa expressão na EDO original. O lado direito também pode ser simplificado usando
:
No lado direito fatoramos
:
Portanto a equação fica
Passo 4
Isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Agora vamos colocar o lado direito sobre um denominador comum
:
Isso pode ser escrito como
Dividindo por
(e lembrando que
) obtemos
Passo 5
Agora separamos variáveis para integrar. Reescrevendo:
Explico a separação: trazemos tudo que depende de
para o lado esquerdo e tudo que depende de
para o lado direito; assim cada integral fica em uma única variável.
Integramos os dois lados. No lado esquerdo dividimos a integral:
As integrais conhecidas são:
No lado direito:
onde
é a constante de integração. Somando os resultados obtemos
Passo 6
Vamos limpar a expressão e voltar a
. Multiplicando tudo por
para simplificar:
com
. Podemos juntar os logaritmos:
Agora substituímos
. Observe que
Portanto a solução implícita fica
onde
é uma constante arbitrária. Observações de domínio: usamos
na substituição
e a EDO original exige também
para que o denominador
não seja zero; a solução implícita acima é válida nos ramos onde essas condições se mantêm.