1. [0,75 ponto ] Se X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right) com média 80 e desvio padrão 10 , qual o 86^{\circ} percentil?
  2. [0,75 ponto ] Se X \sim \Gamma(\alpha, \beta) com \alpha=7 e \beta=2, calcule P(X<12).

Passo 1

O enunciado traz duas partes. Na primeira, X é normal com média \mu=80 e desvio padrão \sigma=10, e pede o 86^\circ percentil. Na segunda, X segue a distribuição Gama com forma \alpha=7 e escala \beta=2, e pede P(X<12). Vamos usar, respectivamente, a padronização da normal para obter quantis e a expressão da função-distribuição da Gama em termos de somatório (caso \alpha inteiro).

Passo 2

Para achar o 86^\circ percentil de X\sim N(\mu,\sigma^2) usamos
x_{0,86} \;=\; \mu + \sigma\,z_{0,86},
onde z_{0,86} = \Phi^{-1}(0,86) é o quantil da normal padrão.

Passo 3

Da tabela da normal padrão temos
z_{0,86}\approx 1,08.
Logo
x_{0,86} = 80 + 10\cdot 1,08 = 90,8.

Passo 4

Para X\sim \Gamma(\alpha,\beta) com \alpha inteiro e \beta escala, a CDF é
F(x) = P(X<x) = 1 - e^{-x/\beta} \sum_{k=0}^{\alpha-1} \frac{(x/\beta)^k}{k!}.
Aqui \alpha=7, \beta=2 e x=12 implica x/\beta=6.

Passo 5

Calculamos
\sum_{k=0}^{6-1} \frac{6^k}{k!} = 1 + 6 + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} = 179,8
e
e^{-6}\approx 0,00247875.
Portanto
P(X<12) =1 - e^{-6}\times 179,8 \approx 1 - 0,44568 =0,55432.

Resposta

  1. x_{0,86}\approx 90,8.
  2. P(X<12)\approx 0,5543.

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