[1,5\) ponto \(]\) Seja a seguinte funçâo: \(f(x)= \begin{cases}\frac{k}{x^{4}} & x>1 \\\\ 0 & x \leq 1\end{cases}
(a) Determine o valor de k para o qual f(x) é uma fdp legitima.
(b) Obtenha a função distribuição acumulada.
(c) Calcule \mathrm{P}(2<x<3).

Passo 1

O enunciado define uma função densidade de probabilidade por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{k}{x^{4}},&x>1,\\\\ 0,&x\le1, \end{cases}
e pede: (a) encontrar k para que f seja uma fdp válida, (b) obter a função de distribuição acumulada F(x) e (c) calcular \mathrm{P}(2<x<3). Vamos usar conceitos de cálculo de integrais para densidades contínuas.

Passo 2

Para que f seja uma fdp legítima, a integral de \,f(x) sobre todo o eixo real deve valer 1. Como f(x)=0 para x\le1, basta exigir
\int_{1}^{\infty}\frac{k}{x^{4}}\,dx = 1.
Calculamos
\int_{1}^{\infty}x^{-4}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{3}x^{-3}\Bigr]_{1}^{\infty} =\left(0-(-\tfrac{1}{3})\right) =\tfrac{1}{3}.
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k\cdot\tfrac{1}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad k=3.

Passo 3

A função distribuição acumulada é
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
Para x\le1, F(x)=0. Para x>1:
F(x)=\int_{1}^{x}\frac{3}{t^{4}}\,dt =3\Bigl[-\tfrac{1}{3}t^{-3}\Bigr]_{1}^{x} =-\bigl(x^{-3}-1\bigr) =1-x^{-3}.

Passo 4

A probabilidade \mathrm{P}(2<x<3) é
F(3^{-})-F(2) =\bigl(1-3^{-3}\bigr)-\bigl(1-2^{-3}\bigr) =2^{-3}-3^{-3} =\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{27} =\tfrac{27-8}{216} =\tfrac{19}{216}.

Resposta

(a) k=3\) (b) \[F(x)= \begin{cases} 0,&x\le1,\\\\ 1-x^{-3},&x>1 \end{cases}
(c) (\mathrm{P}(2<x<3)=\tfrac{19}{216}.]

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