[0,8] Calcular com o auxílio do cálculo diferencial um valor aproximado para \sqrt[5]{37}.

Passo 1

O enunciado pede um valor aproximado para \sqrt[5]{37}. As informações dadas são:
  • O número cujo quinto radical deve ser aproximado é 37.
  • Está indicado o uso do cálculo diferencial como auxílio.
  • Foi fornecido o intervalo [0,8] no enunciado (lista-se aqui como informação dada), embora o número 37 esteja fora desse intervalo. Nada mais sobre figura ou tabela foi dado.
O que precisamos fornecer: um valor aproximado numérico para \sqrt[5]{37}, obtido com um método baseado em cálculo diferencial (linearização / diferencial).

Passo 2

Escolha do ponto de aproximação e definição da função.
Para usar a aproximação diferencial (linearização) escolhemos um número próximo a 37 cujo quinto radical é fácil de calcular. O inteiro 32 é uma boa escolha porque 32=2^{5}, logo \sqrt[5]{32}=2. Assim vamos aproximar f(37) usando uma expansão em torno de a=32.
Definimos a função
f(x)=x^{1/5},
onde:
  • x é o número cujo quinto radical se quer calcular;
  • f(x) é a função que manda x em sua quinta raiz \sqrt[5]{x}.
A ideia da linearização (fórmula do diferencial) é aproximar f(a+\Delta x) por
f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\,\Delta x,
onde \Delta x=(x-a). Vou agora explicar e aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Regra do poder e derivada de f.
A regra do poder (power rule) diz que, para f(x)=x^{n} com n real, tem-se
f'(x)=n\,x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{1}{5}. Aplicando a regra do poder:
f'(x)=\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}x^{-4/5}.
Explicando: f'(x) é a derivada de f em x, que representa a taxa de variação instantânea de f quando x muda. A notação x^{-4/5} significa 1/x^{4/5}.
Agora vamos avaliar f e f' em a=32.

Passo 4

Cálculo de f(32) e f'(32).
Primeiro,
f(32)=32^{1/5}=2,
porque 32=2^{5}.
Agora f'(32):
f'(32)=\frac{1}{5}\cdot 32^{-4/5}.
Usando 32=2^{5} temos
32^{-4/5}=(2^{5})^{-4/5}=2^{-4}=\frac{1}{16}.
Portanto
f'(32)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{80}=0,0125.

Passo 5

Aplicando a linearização para aproximar f(37).
Tomamos a=32 e \Delta x=37-32=5. A aproximação linear é
f(37)\approx f(32)+f'(32)\cdot(37-32).
Substituindo os valores calculados:
f(37)\approx 2+\frac{1}{80}\cdot 5 = 2+\frac{5}{80}=2+\frac{1}{16}.
Calculando \dfrac{1}{16}=0{,}0625, logo
f(37)\approx 2{,}0625.
Isto significa \sqrt[5]{37}\approx2{,}0625.

Passo 6

Estimativa do erro da aproximação (opcional, mas útil).
Usamos a forma do resto da expansão de Taylor (ou a desigualdade de Taylor-Lagrange de ordem 1). O termo do erro de segunda ordem satisfaz, para algum c entre 32 e 37,
R_1=\frac{f''\text{(c)}}{2}(\Delta x)^2.
Calculamos f''(x). Da derivada f'(x)=\tfrac{1}{5}x^{-4/5}, derivando novamente:
f''(x)=\frac{1}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)x^{-9/5}=-\frac{4}{25}x^{-9/5}.
O valor absoluto |f''(x)|=\frac{4}{25}x^{-9/5} é monotonicamente decrescente para x>0 quando x cresce, então no intervalo entre 32 e 37 o máximo de |f''(x)| ocorre em x=32. Logo
\max_{[32,37]}|f''(x)| \le \frac{4}{25}\cdot 32^{-9/5}.
Usando 32=2^{5}
32^{-9/5}=(2^{5})^{-9/5}=2^{-9}=\frac{1}{512}.
Portanto
\max_{[32,37]}|f''(x)| \le \frac{4}{25}\cdot\frac{1}{512}=\frac{4}{12800}=\frac{1}{3200}.
Assim o erro em módulo é limitado por
|R_1|\le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3200}\cdot(\Delta x)^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3200}\cdot 5^2.
Calculando:
|R_1|\le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3200}\cdot 25=\frac{25}{6400}=\frac{1}{256}=0{,}00390625.
Portanto o valor aproximado 2{,}0625 tem erro no máximo 0{,}00390625. Em intervalo:
2{,}0625-0{,}00390625 \le \sqrt[5]{37}\le 2{,}0625+0{,}00390625,
ou seja
2{,}05859375 \le \sqrt[5]{37}\le 2{,}06640625.

Passo 7

Resumo final e dica prática para a prova.
  • Método usado: linearização (approx. por diferencial) em torno de um ponto a cujo quinto radical é exato; escolha a=32 pois 32=2^{5}.
  • Fórmula prática que se usa na prova: para f(x)=x^{1/5},
f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),
com f'(a)=\dfrac{1}{5}a^{-4/5}. Faça sempre a ser uma potência conhecida (aqui 2^{5}).
  • Resultado prático: \sqrt[5]{37}\approx2{,}0625, com erro menor que 0{,}00390625.
Força aí — essa técnica vale para muitas raízes e potências na prova: escolha um ponto próximo cujo valor seja simples (potência inteira), calcule a derivada com a regra do poder e aplique a linearização.

Resposta

\sqrt[5]{37}\approx2{,}0625

Exercícios relacionados