Calcular com o auxílio do cálculo diferencial um valor aproximado para
.
Passo 1
O enunciado pede um valor aproximado para
. As informações dadas são:
- O número cujo quinto radical deve ser aproximado é
. - Está indicado o uso do cálculo diferencial como auxílio.
- Foi fornecido o intervalo
no enunciado (lista-se aqui como informação dada), embora o número esteja fora desse intervalo. Nada mais sobre figura ou tabela foi dado.
O que precisamos fornecer: um valor aproximado numérico para
, obtido com um método baseado em cálculo diferencial (linearização / diferencial).
Passo 2
Escolha do ponto de aproximação e definição da função.
Para usar a aproximação diferencial (linearização) escolhemos um número próximo a cujo quinto radical é fácil de calcular. O inteiro
é uma boa escolha porque
, logo
. Assim vamos aproximar
usando uma expansão em torno de
.
Para usar a aproximação diferencial (linearização) escolhemos um número próximo a
Definimos a função
onde:
-
é o número cujo quinto radical se quer calcular; -
é a função que manda em sua quinta raiz .
A ideia da linearização (fórmula do diferencial) é aproximar
por
onde
. Vou agora explicar e aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Regra do poder e derivada de
.
A regra do poder (power rule) diz que, para com
real, tem-se
A regra do poder (power rule) diz que, para
Aqui
. Aplicando a regra do poder:
Explicando:
é a derivada de
em
, que representa a taxa de variação instantânea de
quando
muda. A notação
significa
.
Agora vamos avaliar
e
em
.
Passo 4
Cálculo de
e
.
Primeiro,
Primeiro,
porque
.
Agora
:
Usando
temos
Portanto
Passo 5
Aplicando a linearização para aproximar
.
Tomamos e
. A aproximação linear é
Tomamos
Substituindo os valores calculados:
Calculando
, logo
Isto significa
.
Passo 6
Estimativa do erro da aproximação (opcional, mas útil).
Usamos a forma do resto da expansão de Taylor (ou a desigualdade de Taylor-Lagrange de ordem 1). O termo do erro de segunda ordem satisfaz, para algum entre
e
,
Usamos a forma do resto da expansão de Taylor (ou a desigualdade de Taylor-Lagrange de ordem 1). O termo do erro de segunda ordem satisfaz, para algum
Calculamos
. Da derivada
, derivando novamente:
O valor absoluto
é monotonicamente decrescente para
quando
cresce, então no intervalo entre
e
o máximo de
ocorre em
. Logo
Usando
dá
Portanto
Assim o erro em módulo é limitado por
Calculando:
Portanto o valor aproximado
tem erro no máximo
. Em intervalo:
ou seja
Passo 7
Resumo final e dica prática para a prova.
- Método usado: linearização (approx. por diferencial) em torno de um ponto
cujo quinto radical é exato; escolha pois . - Fórmula prática que se usa na prova: para
,
com
. Faça sempre
ser uma potência conhecida (aqui
).
- Resultado prático:
, com erro menor que .
Força aí — essa técnica vale para muitas raízes e potências na prova: escolha um ponto próximo cujo valor seja simples (potência inteira), calcule a derivada com a regra do poder e aplique a linearização.