Calcular d y / d x para as seguintes funções:
x^{9}+7 x^{4} y^{5}+4 y^{9}=5

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{9}+7x^{4}y^{5}+4y^{9}=5
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}. Informações relevantes:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita; isto é, y depende de x, mas não está isolada.
  • Quer-se a derivada de y em relação a x: \dfrac{dy}{dx} (também denotada por y').
  • A constante do lado direito é \,5.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Quando y é função de x, ao derivar termos que contêm y usa-se a diferenciação implícita: derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que \dfrac{d}{dx}[y]=y'.
  • Regras que vamos usar:
    • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}\dfrac{dt}{dx} quando t depende de x. Se t=x, então \dfrac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}.
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u\cdot v]=u'\,v+u\,v'.
    • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}[C]=0.
  • Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo x^{9}:
  • Aqui x é a variável independente, então aplicamos a regra da potência simples:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{9}\bigr)=9x^{8}.

Passo 4

Derivada do segundo termo 7x^{4}y^{5}:
  • É um produto entre u(x)=7x^{4} e v(x)=y^{5} (lembre: y depende de x).
  • Primeiro, u'(x)=7\cdot 4x^{3}=28x^{3}.
  • Para v(x)=y^{5}, usamos a regra da potência com cadeia: \dfrac{d}{dx}[y^{5}]=5y^{4}\cdot y' porque \dfrac{d}{dy}[y^{5}]=5y^{4} e \dfrac{dy}{dx}=y'.
  • Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(7x^{4}y^{5}\bigr)=u'v+uv'=(28x^{3})y^{5}+7x^{4}(5y^{4}y').
  • Simplificando:
\frac{d}{dx}\bigl(7x^{4}y^{5}\bigr)=28x^{3}y^{5}+35x^{4}y^{4}y'.

Passo 5

Derivada do terceiro termo 4y^{9}:
  • Aqui aplicamos a regra da potência com cadeia (porque y=y(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(4y^{9}\bigr)=4\cdot 9y^{8}\cdot y'=36y^{8}y'.

Passo 6

Derivar o lado direito e montar a equação:
  • Derivada do lado direito \dfrac{d}{dx}[5]=0.
  • Somando as derivadas dos três termos e igualando a zero:
9x^{8} + \bigl(28x^{3}y^{5}+35x^{4}y^{4}y'\bigr) + 36y^{8}y' = 0.
  • Reagrupando para separar os termos que multiplicam y':
9x^{8} + 28x^{3}y^{5} + 35x^{4}y^{4}y' + 36y^{8}y' = 0.

Passo 7

Isolar y' e simplificar:
  • Colocando os termos com y' juntos:
\bigl(35x^{4}y^{4}+36y^{8}\bigr)y' + \bigl(9x^{8}+28x^{3}y^{5}\bigr)=0.
  • Passando o termo sem y' para o outro lado:
\bigl(35x^{4}y^{4}+36y^{8}\bigr)y' = -\bigl(9x^{8}+28x^{3}y^{5}\bigr).
  • Finalmente dividindo pelo fator que multiplica y':
y'=\frac{dy}{dx}=-\dfrac{9x^{8}+28x^{3}y^{5}}{35x^{4}y^{4}+36y^{8}}.
  • Observação prática: não é possível dividir se o denominador for zero; nesses pontos a derivada, tal como escrita, não está definida (esse comentário é só para ficar atento na prova).

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\dfrac{9x^{8}+28x^{3}y^{5}}{35x^{4}y^{4}+36y^{8}}

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