Calcular
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para calcular
. Informações relevantes:
- A equação relaciona
e de forma implícita; isto é, depende de , mas não está isolada. - Quer-se a derivada de
em relação a : (também denotada por ). - A constante do lado direito é
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
- Quando
é função de , ao derivar termos que contêm usa-se a diferenciação implícita: derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que . - Regras que vamos usar:
- Regra da potência:
quando depende de . Se , então . - Regra do produto:
. - Derivada de constante:
.
- Regra da potência:
- Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
:
- Aqui
é a variável independente, então aplicamos a regra da potência simples:
Passo 4
Derivada do segundo termo
:
- É um produto entre
e (lembre: depende de ). - Primeiro,
. - Para
, usamos a regra da potência com cadeia: porque e . - Aplicando a regra do produto:
- Simplificando:
Passo 5
Derivada do terceiro termo
:
- Aqui aplicamos a regra da potência com cadeia (porque
):
Passo 6
Derivar o lado direito e montar a equação:
- Derivada do lado direito
. - Somando as derivadas dos três termos e igualando a zero:
- Reagrupando para separar os termos que multiplicam
:
Passo 7
Isolar
e simplificar:
- Colocando os termos com
juntos:
- Passando o termo sem
para o outro lado:
- Finalmente dividindo pelo fator que multiplica
:
- Observação prática: não é possível dividir se o denominador for zero; nesses pontos a derivada, tal como escrita, não está definida (esse comentário é só para ficar atento na prova).