Calcular
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a relação implícita entre
e
:
O que se pede é calcular
— ou seja, a derivada de
em relação a
, assumindo que
depende de
.
Passo 2
Vamos revisar as regras de diferenciação que vamos usar (não se assuste: são poucas e diretas).
- Regra da cadeia: se
, então a derivada de em relação a é . Ou seja, a derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do argumento. - Derivada de produto (regra do produto): se
, então . - Notação: escrevo
também como . Sempre que eu derivar em relação a , aparece um fator por conta de .
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
, então (derive dá , derive dá ). - Se
, aplicando produto: .
Passo 3
Agora aplicamos a diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a
.
Derivada do lado esquerdo:
Passo 4
Derivada do lado direito (produto
):
Passo 5
Igualando as derivadas (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
Passo 6
Agora isolamos
. Primeiro expandimos os dois lados:
Passamos todos os termos com
para um lado e os restantes para o outro:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por
(para deixar o coeficiente de
positivo):
Passo 7
Finalmente isolamos
dividindo pelo coeficiente:
Podemos também fatorar
no denominador, se preferir: