Calcular d y / d x para as seguintes funções:
\exp (x-3 y)=9 x y

Passo 1

O enunciado fornece a relação implícita entre x e y:
\exp(x-3y)=9xy.
O que se pede é calcular \dfrac{dy}{dx} — ou seja, a derivada de y em relação a x, assumindo que y depende de x.

Passo 2

Vamos revisar as regras de diferenciação que vamos usar (não se assuste: são poucas e diretas).
  • Regra da cadeia: se u=u(x), então a derivada de \exp(u) em relação a x é \dfrac{d}{dx}\big(\exp(u)\big)=\exp(u)\,\dfrac{du}{dx}. Ou seja, a derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do argumento.
  • Derivada de produto (regra do produto): se f(x)=a(x)\,b(x), então \dfrac{d}{dx}f=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
  • Notação: escrevo \dfrac{dy}{dx} também como y'. Sempre que eu derivar y em relação a x, aparece um fator y' por conta de y=y(x).
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se u(x)=x-3y(x), então \dfrac{du}{dx}=1-3y' (derive x 1, derive -3y -3y').
  • Se g(x)=9x\cdot y(x), aplicando produto: g'(x)=9\big(x\cdot y' + y\cdot 1\big)=9(xy'+y).

Passo 3

Agora aplicamos a diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x.
Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(\exp(x-3y)\big)=\exp(x-3y)\cdot\frac{d}{dx}(x-3y)=\exp(x-3y)\,(1-3y').

Passo 4

Derivada do lado direito (produto 9\cdot x\cdot y):
\frac{d}{dx}\big(9xy\big)=9\frac{d}{dx}(x y)=9\big(x y' + y\big).

Passo 5

Igualando as derivadas (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
\exp(x-3y)\,(1-3y')=9\big(x y' + y\big).

Passo 6

Agora isolamos y'. Primeiro expandimos os dois lados:
\exp(x-3y) - 3\exp(x-3y)\,y' = 9x y' + 9y.
Passamos todos os termos com y' para um lado e os restantes para o outro:
-3\exp(x-3y)\,y' - 9x y' = 9y - \exp(x-3y).
Fatoramos y' no lado esquerdo:
\big(-3\exp(x-3y) - 9x\big)\,y' = 9y - \exp(x-3y).
Multiplicando ambos os lados por -1 (para deixar o coeficiente de y' positivo):
\big(3\exp(x-3y) + 9x\big)\,y' = \exp(x-3y) - 9y.

Passo 7

Finalmente isolamos y' dividindo pelo coeficiente:
y'=\dfrac{\exp(x-3y)-9y}{3\exp(x-3y)+9x}.
Podemos também fatorar 3 no denominador, se preferir:
y'=\dfrac{\exp(x-3y)-9y}{3\big(\exp(x-3y)+3x\big)}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\dfrac{\exp(x-3y)-9y}{3\exp(x-3y)+9x}

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