[1,0] Um tanque prismático, sem tampa, construído com chapas metálicas, tem a base em forma de hexágono regular. O volume do tanque é de 64 \mathrm{~m}^{3}. O custo das chapas laterais é de \mathrm{R} \ 100,00 / \mathrm{m}^{2} e o da base\mathrm{R} $200,00 / \mathrm{m}^{2}$. Calcular as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo e calcular o valor do custo.

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá:
    • Volume do tanque V=64\\ \mathrm{m}^3.
    • A base é um hexágono regular (sem tampa) e o tanque é um prisma reto de altura h.
    • Custo das chapas laterais: R\$100,00 por metro quadrado.
    • Custo da base: R\$200,00 por metro quadrado.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar as dimensões do tanque (as dimensões relevantes aqui são o lado do hexágono regular da base, que vou chamar de a, e a altura h) para que o custo total seja mínimo.
    • Calcular o valor do custo mínimo correspondente.

Passo 2

Modelagem geométrica — área da base e área lateral de um prisma com base hexagonal regular.
  • Para um hexágono regular de lado a, a área da base é
A_{\text{base}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
Explicação rápida dessa fórmula: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado a; a área de cada triângulo equilátero é \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}, então 6 vezes isso dá \frac{6\sqrt{3}}{4}a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}.
  • A perímetro do hexágono é P=6a. A área lateral do prisma (sem tampa) é perímetro da base vezes altura:
A_{\text{lat}} = P\cdot h = 6a\,h.

Passo 3

Expressar o custo total em função de a e h.
  • Custo das laterais: 100 reais por \mathrm{m}^2 vezes A_{\text{lat}}, isto é 100\cdot 6a h = 600 a h.
  • Custo da base: 200 reais por \mathrm{m}^2 vezes A_{\text{base}}, isto é 200\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2} = 300\sqrt{3}\,a^{2}.
Logo, o custo total C(a,h) é
C(a,h)=600\,a h + 300\sqrt{3}\,a^{2}.

Passo 4

Usar a restrição do volume para eliminar h.
  • O volume do prisma é V=A_{\text{base}}\cdot h, logo
\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\,h = 64.
  • Isolando h:
h=\frac{64}{\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}}=\frac{128}{3\sqrt{3}\,a^{2}}.
Observação: aqui resolvi algebricamente para h em termos de a, assim teremos só uma variável para minimizar.

Passo 5

Substituir h na expressão do custo para obter C em função de uma só variável a.
  • Substituindo na expressão de C(a,h):
C(a)=600\,a\left(\frac{128}{3\sqrt{3}\,a^{2}}\right) + 300\sqrt{3}\,a^{2}.
  • Simplificando o primeiro termo:
600\cdot\frac{128}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{a}{a^{2}} = \frac{600\cdot128}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a}.
Portanto
C(a)=\frac{25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a} + 300\sqrt{3}\,a^{2},\qquad a>0.

Passo 6

Encontrar o mínimo de C(a) derivando e igualando a zero (condição necessária).
  • Derivada de C(a) em relação a a:
C'(a) = -\frac{25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a^{2}} + 600\sqrt{3}\,a.
  • Igualando a zero para obter ponto crítico:
-\frac{25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a^{2}} + 600\sqrt{3}\,a = 0.
  • Passos algébricos para isolar a:
600\sqrt{3}\,a = \frac{25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a^{2}}
600\sqrt{3}\,a^{3} = \frac{25600}{\sqrt{3}}
600\cdot 3\,a^{3} = 25600 \quad\text{(multiplicando ambos os lados por }\sqrt{3}\text{)}
1800\,a^{3}=25600
a^{3}=\frac{25600}{1800}=\frac{256}{18}=\frac{128}{9}.
  • Portanto a solução para a é
a=\left(\frac{128}{9}\right)^{1/3}.

Passo 7

Verificar que o ponto crítico é mínimo (segunda derivada).
  • Segunda derivada:
C''(a)= \frac{2\cdot 25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a^{3}} + 600\sqrt{3}.
  • Para a>0 ambos os termos são positivos, então C''(a)>0. Logo o ponto crítico encontrado dá um mínimo local (e como C(a)\to\infty quando a\to0^+ ou a\to\infty, é o mínimo global).

Passo 8

Calcular numericamente a e h.
  • Valor exato:
a=\left(\frac{128}{9}\right)^{1/3}.
  • Valor numérico (arredondado):
a\approx 2{,}423\\ \mathrm{m}.
  • Agora calcular h usando a fórmula obtida em Passo 4:
h=\frac{128}{3\sqrt{3}\,a^{2}}.
  • Substituindo o valor exato de a em forma fechada dá, ao simplificar numericamente,
h\approx 4{,}196\\ \mathrm{m}.
Breve interpretação: a base tem lado a\approx 2{,}423\\ \mathrm{m} e a altura do prisma deve ser h\approx 4{,}196\\ \mathrm{m} para que o custo seja mínimo, respeitando V=64\\ \mathrm{m}^3.

Passo 9

Calcular o custo mínimo correspondente.
  • Usamos a simplificação decorrente da condição de otimalidade. No ponto ótimo, dos dois termos do custo na forma C(a)=T_1+T_2 (com T_1=\frac{25600}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a} e T_2=300\sqrt{3}\,a^{2}) obteve-se a relação T_1=2T_2 (pode-se verificar substituindo a condição crítica). Assim
C_{\min}=T_1+T_2=3T_2=3\cdot 300\sqrt{3}\,a^{2}=900\sqrt{3}\,a^{2}.
  • Substituindo a^{2}=\left(\dfrac{128}{9}\right)^{2/3} e avaliando numericamente:
C_{\min}\approx R\$\,9152{,}88.

Resposta

a=\left(\dfrac{128}{9}\right)^{1/3}\approx 2{,}423\\ \mathrm{m}
h=\dfrac{128}{3\sqrt{3}\,a^{2}}\approx 4{,}196\\ \mathrm{m}
C_{\min}\approx R\$\,9152{,}88

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