Um tanque prismático, sem tampa, construído com chapas metálicas, tem a base em forma de hexágono regular. O volume do tanque é de
. O custo das chapas laterais é de
100,00 / \mathrm{m}^{2}
\mathrm{R} $200,00 / \mathrm{m}^{2}$. Calcular as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo e calcular o valor do custo.
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá:
- Volume do tanque
. - A base é um hexágono regular (sem tampa) e o tanque é um prisma reto de altura
. - Custo das chapas laterais:
por metro quadrado. - Custo da base:
por metro quadrado.
- Volume do tanque
- O que o enunciado pede:
- Determinar as dimensões do tanque (as dimensões relevantes aqui são o lado do hexágono regular da base, que vou chamar de
, e a altura ) para que o custo total seja mínimo. - Calcular o valor do custo mínimo correspondente.
- Determinar as dimensões do tanque (as dimensões relevantes aqui são o lado do hexágono regular da base, que vou chamar de
Passo 2
Modelagem geométrica — área da base e área lateral de um prisma com base hexagonal regular.
- Para um hexágono regular de lado
, a área da base é
Explicação rápida dessa fórmula: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado
; a área de cada triângulo equilátero é
, então
vezes isso dá
.
- A perímetro do hexágono é
. A área lateral do prisma (sem tampa) é perímetro da base vezes altura:
Passo 3
Expressar o custo total em função de
e
.
- Custo das laterais:
reais por vezes , isto é . - Custo da base:
reais por vezes , isto é .
Logo, o custo total
é
Passo 4
Usar a restrição do volume para eliminar
.
- O volume do prisma é
, logo
- Isolando
:
Observação: aqui resolvi algebricamente para
em termos de
, assim teremos só uma variável para minimizar.
Passo 5
Substituir
na expressão do custo para obter
em função de uma só variável
.
- Substituindo na expressão de
:
- Simplificando o primeiro termo:
Portanto
Passo 6
Encontrar o mínimo de
derivando e igualando a zero (condição necessária).
- Derivada de
em relação a :
- Igualando a zero para obter ponto crítico:
- Passos algébricos para isolar
:
- Portanto a solução para
é
Passo 7
Verificar que o ponto crítico é mínimo (segunda derivada).
- Segunda derivada:
- Para
ambos os termos são positivos, então . Logo o ponto crítico encontrado dá um mínimo local (e como quando ou , é o mínimo global).
Passo 8
Calcular numericamente
e
.
- Valor exato:
- Valor numérico (arredondado):
- Agora calcular
usando a fórmula obtida em Passo 4:
- Substituindo o valor exato de
em forma fechada dá, ao simplificar numericamente,
Breve interpretação: a base tem lado
e a altura do prisma deve ser
para que o custo seja mínimo, respeitando
.
Passo 9
Calcular o custo mínimo correspondente.
- Usamos a simplificação decorrente da condição de otimalidade. No ponto ótimo, dos dois termos do custo na forma
(com e ) obteve-se a relação (pode-se verificar substituindo a condição crítica). Assim
- Substituindo
e avaliando numericamente: