[ 1, 0] Calcular os limites
lim x infty ln x+1xln x-1x

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftylnx+1xlnx-1x
Isso é um limite de quociente de logaritmos que tende a uma forma 0/0. Vamos usar a técnica de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando xtoinfty,
x+1xto1ex-1xto1,
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lnx+1xtoln1=0 e lnx-1xtoln1=0.
Temos, então, indeterminação tfrac00.

Passo 3

Aplicamos o critério de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x.
Para o numerador
lnx+1x=ln(x+1)-ln x Longrightarrow ddxl[lnx+1xr] =1x+1-1x =-1x(x+1)
Para o denominador
lnx-1x=ln(x-1)-ln x Longrightarrow ddxl[lnx-1xr] =1x-1-1x =1x(x-1)

Passo 4

O limite original fica igual ao limite do quociente das derivadas:
limxtoinfty-1x(x+1)1x(x-1) =-limxtoinftyx(x-1)x(x+1) =-limxtoinftyx-1x+1 =-1

Resposta

-1

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