[ 1,0 ] Esboçar e determinar a área da região finita delimitada pelas curvas
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede o esboço e a área da região em
onde (\alpha,\beta>1].
O conteúdo é cálculo de área de região plana usando integração dupla reduzida a integral simples. Vamos precisar achar os pontos de interseção das três curvas e escolher um bom eixo para integrar.
O conteúdo é cálculo de área de região plana usando integração dupla reduzida a integral simples. Vamos precisar achar os pontos de interseção das três curvas e escolher um bom eixo para integrar.
Passo 2
Encontrar a interseção da hipérbole
com a parábola
. Substituindo
na hipérbole:
Então
.
Passo 3
Encontrar a interseção da hipérbole
com a reta horizontal
. Substituindo
na hipérbole:
O ponto de interseção é
.
Passo 4
Encontrar a interseção da reta
com a parábola
. Temos
logo o ponto é
.
Passo 5
Esboço qualitativo:
- A parábola
cresce em . - A hipérbole
decresce em . - A reta horizontal
é a “tampa” superior.
Essas curvas formam uma região fechada paravariando de até , com a borda esquerda dada por e a borda direita por .
Passo 6
Montar a integral para a área
integrando em
. Para cada
,
varia de
Assim
Passo 7
Calcular a integral. Note que
Logo
Avaliaremos em
e
.
Passo 8
Em
temos
então
Em
temos
então
Passo 9
Subtraindo,
Organizando termos,
Resposta
A área da região é