[ 1,0 ] Esboçar e determinar a área da região finita delimitada pelas curvas
\left{ lx y=8 alpha^3 y=4 alpha^2 beta^2 y=x^2 x>0 alpha, beta>1\right.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região em
onde (\alpha,\beta>1].
O conteúdo é cálculo de área de região plana usando integração dupla reduzida a integral simples. Vamos precisar achar os pontos de interseção das três curvas e escolher um bom eixo para integrar.

Passo 2

Encontrar a interseção da hipérbole xy=8alpha^3 com a parábola y=x^2. Substituindo y=x^2 na hipérbole:
xcdot x^2 = 8alpha^3 Longrightarrow x^3 = 8alpha^3 Longrightarrow x = 2alpha (x>0)
Então y = x^2 = (2alpha)^2 = 4alpha^2.

Passo 3

Encontrar a interseção da hipérbole xy=8alpha^3 com a reta horizontal y=4alpha^2beta^2. Substituindo y na hipérbole:
x,(4alpha^2beta^2) = 8alpha^3 Longrightarrow x = 8alpha^34alpha^2beta^2 = 2alphabeta^2
O ponto de interseção é l(2alpha/beta^2,,4alpha^2beta^2r).

Passo 4

Encontrar a interseção da reta y=4alpha^2beta^2 com a parábola y=x^2. Temos
x^2 = 4alpha^2beta^2 Longrightarrow x = 2alphabeta (x>0),
logo o ponto é l(2alphabeta,,4alpha^2beta^2r).

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • A parábola y=x^2 cresce em x>0.
  • A hipérbole x=8alpha^3/y decresce em y.
  • A reta horizontal y=4alpha^2beta^2 é a “tampa” superior.
    Essas curvas formam uma região fechada para y variando de 4alpha^2 até 4alpha^2beta^2, com a borda esquerda dada por x=8alpha^3/y e a borda direita por x=raizy.

Passo 6

Montar a integral para a área A integrando em y. Para cada yin[4alpha^2,,4alpha^2beta^2], x varia de
xrm esquerda = 8alpha^3y até xrm direita = raizy é
Assim
A = integraly=4alpha^2^4alpha^2beta^2 l(raizy - 8alpha^3yr),dy

Passo 7

Calcular a integral. Note que
integral raizy,dy = 23,y^3/2, integral 1y,dy = ln y
Logo
A = [ 23,y^3/2 -8alpha^3ln y ]4alpha^2^4alpha^2beta^2
Avaliaremos em y1=4alpha^2beta^2 e y0=4alpha^2.

Passo 8

Em y1=4alpha^2beta^2 temos
y1^3/2 = (4alpha^2beta^2)^3/2 =8,alpha^3beta^3,
então
23y1^3/2 = 163,alpha^3beta^3, 8alpha^3ln y1 = 8alpha^3l(ln4 +2lnalpha +2lnbetar)
Em y0=4alpha^2 temos
y0^3/2 = (4alpha^2)^3/2 =8alpha^3,
então
23y0^3/2 = 163,alpha^3, 8alpha^3ln y0 = 8alpha^3l(ln4 +2lnalphar)

Passo 9

Subtraindo,
A = l[tfrac163alpha^3beta^3 -8alpha^3(ln4+2lnalpha+2lnbeta)r] -l[tfrac163alpha^3 -8alpha^3(ln4+2lnalpha)r]
Organizando termos,
A = 163alpha^3(beta^3 -1) -16alpha^3lnbeta =16,alpha^3l(beta^3-13-lnbetar)

Resposta

A área da região é
boxedA = 16,alpha^3l(beta^3 - 13 - lnbetar)

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